نظریه مجموعه های راف در سال $1982$ توسط پاولاک ltrfootnote{pawlak} معرفی شد cite{pawlak}. تاکنون انواع مختلفی از تعمیم های مجموعه های راف از جمله مجموعه های تعریف پذیر خارجی ارائه شده است cite{chem}. اخیرا نوع جدیدی از مجموعه های راف تعمیم یافته به نام مجموعه های تعریف پذیر شبه خارجی معرفی و برخی از ویژگی های مهم آنها بررسی شده است cite{chem,jinjin li}. همچنین با استفاده از تقریب های پایینی و بالایی یک مجموعه نسبت به یک زیرگروه نرمال، انواع مختلفی از گراف های کیلی راف و شبه کیلی راف معرفی شده است cite{davvaz}. در این پایان نامه، بر اساس مجموعه های تعریف پذیر خارجی و شبه خارجی، محک هایی برای تعیین دو بخشی یا همبند بودن یک گراف ارائه می شود. همچنین ویژگی های مهم گراف های کیلی راف و شبه کیلی راف مورد بررسی قرار می گیرد.

فرض کنید $ h=(v_h,e_h) $ یک ابرگراف باشد. ابرگراف $ h $، $ s $-کمان-انتقالی نام دارد هرگاه $ aut(h) $ روی مجموعه $ s $-کمان های آن انتقالی باشد. سراltrfootnote{serra} و همکارش در سال $ 2008 $ مطالعه روی ابرگراف های $ s $-کمان-انتقالی را آغاز کردند cite{sonia}. آنها نتایجی مشابه گراف های $ s $-کمان-انتقالی را برای این نوع ابرگراف ها اثبات کردند. گراف های کیلی، گراف هایی هستند که از گروه ها ساخته می شوند. این گراف ها را در سال $ 1878 $، کیلیltrfootnote{cayley} معرفی کرد cite{cayley}. بوراتیltrfootnote{buratti} در سال $1994$، $ t $-ابرگراف های کیلی را به عنوان تعمیمی از گراف های کیلی معرفی و ویژگی های اولیه آنها را مورد مطالعه قرار داد cite{buratti}. اخیرا نیز در سال $2013$، لیltrfootnote{lee} و همکارش، تعمیمی دیگر از گراف های کیلی با نام ابرگراف های کیلی را ارائه کرده اند cite{jaeun}. نگاشت های کیلی، نشاندنی از گراف های کیلی روی یک رویه جهت دار هستند. این نگاشت ها را در سال $ 1972 $، بیگزltrfootnote{biggs} cite{biggg} برای اولین بار معرفی و مورد مطالعه قرار داد. اخیرا لی و همکارش، تعمیمی از نگاشت های کیلی به نام ابرنگاشت های کیلی را معرفی کرده اند cite{jaeun}