در این پایان نامه انتگرال ها و مشتقات کسری و برخی از ویژگی های آن ها را معرفی می کنیم.همچنین به تعمیم ماتریس عملیاتی لژاندر برای حل عددی دسته ای از معادلات دیفرانسیل کسری در حالت کاپوتو می پردازیم.مشخصه اصلی این روش، کاهش مسئله اصلی به یک دستگاه معادلات جبری می باشد که تا حد زیادی مسئله را ساده می سازد. این روش را برای حل دو نوع از معادلات دیفرانسیل کسری خطی و غیر خطی به کار می بریم. در پایان برای نشان دادن کارایی و دقت این روش در حل معادلات دیفرانسیل کسری، چند مثال عددی ارائه می دهیم.

مدلسازی پدیده هایی که به صورت موج هستند درقرن حاضربه خصوص در دهه های اخیرمورد توجه دانشمندان بسیاری در علو مختلف شده است.درمیان مدلهای ارائه شده دومدلی که به نامهای معادلاتrlwوkdvمعروف هستنداز اهمیت زیادی برخوردارند.در این پایان نامه هدف این است که الگوریتمی کاراومفید برای حل عددی این دسته از معادلات غیرخطی وچگونگی پیاده سازی وآنالیزآن به کاربرده شود که در این میان می توان از توابعb-اسپلاین به عنوان پایه ای برای جواب معادلات دیفرانسیل معرفی شده استفاده کرد.

بسیاری از مسائل مهم ریاضی و فیزیک به معادلات انتگرالی منتهی می شوند. در عمل تعداد بسیار اندکی از این معادلات را می توان به روش تحلیلی حل نمود و جواب آنها را بدست آورد؛ بنابراین از روش های عددی برای محاسبه ی جواب تقریبی آنها استفاده می گردد. یکی از این روش های عددی، روش ضربی روی سطوح است. در این پایان نامه پس از بیان تاریخچه و مقدمه ای بر معادلات انتگرالی، به معرفی انواع این معادلات می پردازیم؛ سپس، به اختصار برخی از روش های عددی حل معادلات انتگرالی را شرح می دهیم؛ در ادامه، حل عددی معادلات انتگرالی فردهلم نوع اول را با استفاده از روش های ضربی با کمک کوادراتورهایی از قبیل روش مستطیلی، روش نقطه میانی، و روش ذوزنقه ای، ارائه می دهیم. برای حل این معادلات روی سطوح، سطح مورد نظر را تقریب زده و سپس با استفاده از گسسته سازی معادلات انتگرالی به حل این معادلات روی سطوح مزبور می پردازیم. در نهایت، با ارائه ی نتایج عددی برای چند نمونه از معادلات انتگرالی فردهلم نوع اول روی سطوح مختلف، و با رسم نمودارهای مربوطه، خطای روش را تخمین می زنیم.

در این پایان نامه، ابتدا به معرفی یکی از روش های طیفی به نام روش تاو می پردازیم. در این روش از چندجمله ای های متعامد به عنوان توابع پایه ای استفاده می شود. سپس رویکرد عملیاتی روش تاو برای حل عددی دستگاه معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم گسترش داده می شود.