اخیراً روش جدیدی برای مدل بندی کردن و برآوردکردن وابستگی از طریق تابع مفصل معرفی شده است که با توجه به دنباله ای از مدل های مفصل پارامتری، تقریب بهتری برای چگالی مفصل را به دست می دهد. رهیافت این پژوهش در استفاده از خانواده های پارامتری، به کار بردن خانواده های نمایی و آمیخته است. ابتدا مدل بندی کردن وابستگی با خانواده های نمایی بررسی می شود. سپس این روش جدید با خانواده های آمیخته که بر اساس چندجمله ای های لژاندر هستند، بیان می شود. نشان داده می شود که طی مراحل کوتاهی تقریب دقیق به دست می آید.‎ در این پایان نامه روش انتخاب تعداد دقیق مراحل بررسی می شود و برآورد پارامترهای مجهول مربوط به خانواده های انتخاب شده، انجام می شود و بنابراین چگالی مفصل برآورد می شود. از طرفی باید بین پیچیدگی مدل و تعداد پارامترهایی که برآورد می شوند، تعادل وجود داشته باشد‏، از این رو روش های انتخاب مدل به کار می روند. نتایج نظری نشان می دهد که میانگین توان دوم خطا با این روش انتخاب، کاهش می یابد‎. این روش روی داده های هزینه و درآمد خانوار اجرا می شود و نتایج مورد بررسی قرار می گیرند.

وابستگی ربعی مثبت ساختار خاص وابستگی است. این ساختار وابستگی قیدی را روی تابع مفصل اعمال می کند. در این پایان نامه وابستگی ربعی مثبت آزمون می شود. یک روش برای ارزیابی توزیع آماره آزمون تحت فرض صفر وابستگی ربعی مثبت این است که از یک مفصل مقید بازنمونه گیری شود.این امر مستلزم برآورد مقید یک تابع مفصل می باشد.نشان داده می شود که این کاربرد بازنمونه گیری تحت مفصل مقید به طور قابل ملاحظه ای عملکرد توان روش های آزمونی موجود را بهبود می بخشد.