در این پایان نامه، دوگانگی مزدوج توابع محدب مجموعه مقدار مورد مطالعه قرار می گیرد. این پایان نامه به صورت زیر تنظیم شده است: فصل اول، به مرور برخی تعاریف و نتایج پایه ای توپولوژی، آنالیز تابعی و آنالیز محدب اختصاص یافت که در فصل های بعدی مورد استفاده می باشند. هدف اصلی فصل دوم، معرفی فضاهای برداری توپولوژیک محدب و فضاهای خطی مخروطی و خواص مهم آن ها می باشد. در فصل سوم، برخی از نتایج شناخته شد? آنالیز محدب را برای توابع محدب مجموعه مقدار بررسی می نماییم. ثابت شده است که یک تابع محدب بست? سره با مقادیر در مجموع? توانی یک فضای محدب موضعی پیش مرتب هاوسدورف، سوپریمم نقطه وار کهین های آفین مجموعه مقدار خودش است. مفهوم جدید مزدوج لژاندر-فنچل برای توابع مجموعه مقدار و قضی? فنچل-موری اثبات شده است.