فرض کنید g = (v,e) گراف?بامجموعهرئوس v و مجموعه یال های e باشد و d = (v,a) یک گراف جهت دار بامجموعهرئوس v و مجموعه یال های a باشد.عدد احاطه ای خروجی یک گراف جهت دار d = (v,a) مینیمم اندازه یک زیرمجموعه s از v است، بطوریکه هر رأس در v-s همسایگی خروجی بعضی از رئوس در s باشد.عدد احاطه ای ورودی به طور مشابه تعریف می شود. اگر به ازای هر رأس v ?v?s ، رئوس u1, u2 ? s موجود باشند(ممکن است u1 و u2 بر هم منطبق باشند)بطوریکه v,u1),(u2,v) ? a(d))، آنگاه s یک مجموعه احاطه گر دوقلو در d نامیده می شود. مینیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر دوقلو در d را عدد احاطه ای دوقلوی d نامیده و با ?^* (d) k نشان می دهند. برای گراف g، عدد احاطه ای دوقلوی جهت پذیر بالایی، ?dom?^* (g)، بیشترین مقدار عدد احاطه ای دوقلو است که روی تمامی جهت دهی های d از g گرفته می شود و عدد احاطه ای دوقلوی جهت پذیر پایینی، ?dom?^* (g)، کمترین مقدار عدد احاطه ای دوقلو است که روی تمامی جهت دهی های d از g گرفته می شود. در این پایان نامه ضمن مطالعه مجموعه های احاطه گر دوقلو و عدد احاطه ای دوقلو، چند کران مختلف برای عدد احاطه ای دوقلو در یک گراف جهت دار بدست می آوریم و به بررسی کرانهایی برای ?dom?^* (g)و ?dom?^* (g)خواهیم پرداخت.