فرض کنید‎ ‎r ‎یک حلقه باشد و‎ ‎r[x] ‎حلقه ی چندجمله ای های روی‎ ‎r ‎باشد ارتباط بین پوچ سازهای ‏حلقه ی‎ ‎ ‎r‎و مجموع پوچ سازهای حلقه ی‎ ‎r[x] ‎ ‎را بررسی می کنیم. برای حلقه ی‎‎r ‎، همریختی‎ α‎ ‎و‎ -α ‎مشتق‎ ‎ δ ‎‎‏، مفهوم حلقه ی(‎ -(α, δسازگار ضعیف را معرفی می کنیم که تعمیم حلقه ی ‎-α صلب و (‎ -(α, δسازگار است. ابتدا خواص حلقه های (‎-(α, δ سازگار ضعیف را مشاهده می کنیم و سپس ارتباط میان ‏خواص ایدآل خارج قسمتی حلقه ی‎ ‎r ‎ ‎و حلقه ی گسترش یافته ی [‎ ‎r[x; α, δرا زمانیکه‎ ‎r ‎ ‎یک (‎-(α, δ سازگار ضعیف است‏، بررسی می کنیم‎ ‎nil(r) ‎مجموعه عناصر پوچ توان حلقه ی‎ ‎r ‎باشد‏، برای زیرمجموعه ی‎ ‎x ‎ ‎از‎‎r ‎‎‏، تعریف می کنیم ‎nr(x) = {a ∈ r|xa ∈ nil(r), ∀x ∈ x}‎‎‎‎ که به نام پوچ ساز ضعیف ‏‎ ‎x ‎‏در ‏‎ ‎r ‎‏است. به طور عمده خواص پوچ ساز ضعیف روی توسیع حلقه ها را بررسی ‏می کنیم.‏