در این پایان نامه پایه های جدید برنشتاین و لژاندر معرفی شده و پس از بیان تعاریف و مقدمات لازم مثل مشتق مرتبه کسری کاپوتو و انتگرال مرتبه کسری ریمان-لیوویل‏، ماتریس عملیاتی جدید مشتق کسری به دست آمده است.‎ همچنین با استفاده از روابط بین چندجمله ای های برنشتاین و لژاندر ماتریس عملیاتی مشتق کسری را معرفی کرده ای‏م‏، سپس از این ماتریس استفاده کرده و برای معادله دیفرانسیل از مرتبه کسری جواب های عددی به دست آورد‏ه ایم.‎ ماتریس مشتق مرتبه کسری به دست آمده بر اساس پایه های برنشتاین معرفی شده‏، برای یافتن جواب های معادله بدوضع انتقال گرما‏، به کار گرفته شده است. در همه مسائل دقت جواب های تقریبی به دست آمده با جواب دقیق مورد مقایسه قرار گرفته است.‎ در فصل 3 نیز به طور جداگانه به بررسی روش فوریه برای حل مسائل معکوس گرما پرداخته شده است. با توجه به مقایسه جواب دقیق و جواب به دست آمده از طریق این روش دقت خوب آن به چشم می آید. در پایان نیز نتایج به دست آمده از دو روش فوریه و پایه های برنشتاین با هم مقایسه شده اند تا کارایی و دقت این دو روش نسبت به هم مشخص گردد.