در این پایان نامه تعاریفی از مهتری روی خانواده آبلی از ماتریس های هرمیتی مورد مطالعه قرار گرفته است که ههتری توام نامیده می شوند. آن ها به کمک مهتری های ماتریسی که قبلا ذکر شده اند، معرفی می شوند. نوعی از این روابط بر حسب توابع محدب مورد بررسی قرار گرفته اند. همچنین، یک ماتریس تصادفی دوگانه تعمیم یافته تعریف شده است و مهتری توام روی خانواده آبلی از ماتریس های نرمال معرفی شده است. خصوصیاتی از مهتری توام روی خانواده آبلی از ماتریس های نرمال مورد بررسی قرار گرفته اند. بعلاوه، گردایه ای از ماتریس هایی در نظر گرفته شده است که درایه های این ماتریس ها در بازه [1و0] قرار دارند و بردارهای مجموع سطری و ستونی آن ها توسط بردار های داده شده b و c مهتر شده اند. در ادامه گردایه ی (c/ b)ωاز ماتریس ها که تعمیمی از گردایه ماتریس های تصادفی دوگانه است مطالعه شده است و یکی از نتایج اصلی این پایان نامه تعمیم قضیه بیرخوف است.