مفهوم توسیع پذیری و توسیع پذیری پایدار را تعریف کرده و به اثبات تکامل یافته یک سری از قضایا می پردازیم. فرض کنید fpn فضای تصویری n بعدی باشد.اگر f میدان حقیقی r باشد، آن را با pn و اگر میدان مختلط c باشد آنرا با cpn نشان میدهیم. شرط لازم و کافی را میابیم که r_کلاف برداری روی pn به طور قابل پایا قابل توسیع به pn برای هر m >= n باشد. ما این نتایج را قبلا برای کلاف مماسی t = t (pn) از pn و برای کلاف نرمال v از غوطه وری pn→ rn+1 و برای مختلط شونده cv از v به دست آورده ایم. در این پایان نامه قسمت هایی از این نتایج را برای کلاف نرمال v از غوطه وری pn ?rn+1 که در آن عدد k هر عدد صحیح مثبت و همچنین برای مختلط شونده cv از v تکامل می بخشیم. در این رابطه 4 قضیه مطرح و اثبات کرده و نتایجی را به دست می آوریم و مثال میزنیم. برای نمونه نشان میدهیم مختلط شونده کلاف نرمال مربوط به غوطه وری p10→r20 قابل توسیع به p41 است اما به طور پایا قابل توسیع به rp42 نیست.