حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی با جواب های نوسانی شدید، یک مسئله چالش برانگیز در آنالیز عددی و فیزیک محاسباتی است. بسیاری از مسائل کاربردی، مثل سیستم های آونگی، ارتعاشات در مکانیک و انتشار موج رفتار نوسانی دارند. در بسیاری از این نوع مسائل مولفه های مجهول، کمیت هایی فیزیکی هستند، که مثبت بودن این کمیت ها امری ضروری است. در این پایان نامه، در ابتدا روش بازگشتی تاو مطرح می شود، سپس روش تاو-گاوس-لژاندر معرفی و رفتار این روش جهت حل معادلات دیفرانسیل معمولی با جواب های نوسانی شدید بررسی می شود. در ادامه، روش تاو-گاوس-لژاندر نمایی وزن دار بر پایه روش های تاو-گاوس-لژاندر و اغتشاش ضرایب بیان و کارایی و دقت این روش، جهت حل مسائل مقدار اولیه با جواب های نوسانی شدید نشان داده می شود. هدف دیگر این پایان نامه، بررسی ویژگی حافظ مثبت بودن جواب حاصل از روش بازگشتی تاو می باشد. برای این منظور، ویژگی حافظ مثبت بودن جواب های حاصل از روش رونگه-کوتای m مرحله ای بررسی می شود. سپس نتایج عددی مربوط به روش رونگه-کوتای دو مرحله ای، بیان می شود. در ادامه، برپایه ویژگی حافظ مثبت بودن جواب حاصل از روش رونگه-کوتای m مرحله ای، این ویژگی را برای روش بازگشتی تاو بررسی خواهیم کرد.