نیم حلقه سیستم جبری (s,+,.) است که (s,+) تکواره جابجایی با عنصر همانی 0 و (s,.) تکواره دیگری با عنصر همانی 1 است، خاصیت توزیع پذیری و همچنین به ازای هر s ϵ s رابطه 0=0 . s=s. 0 برقرار است. اگر به ازای هر دو عنصر a,b متعلق به نیم حلقه s، 0 a+b= ایجاب می کند a=b= 0آنگاه s پادحلقه است. این پایان نامه توصیف کاملی از ماتریس های خود توان و پوچ توان روی پاد حلقه جابجایی ارائه داده است. همچنین روش کرامر برای پاد حلقه جابجایی نیز آورده شده است. مهمترین دستاورد این پایان نامه ارائه تعمیم توسعه یافته ای از ماتریس های بولی، ماتریس های فازی، ماتریس های شبکه ای و ماتریس های اینکلاین است.