به طور کلی در این پایان نامه همه ی حلقه ها تعویض پذیر و یکدار هستند و مدول ها را به صورت مدول چپ یکانی در نظر می گیریم، مگر این که خلاف آن ذکر شود. فرض کنید r یک حلقه و m یک r-مدول باشد. گوییم m، پادهاپفی است هرگاه m ساده نباشد و برای هر زیرمدول سره ی n از m داشته باشیم: m ?m/n. برای مثال گروه پروفر به عنوان z-مدول پادهاپفی است. ابتدا نشان می دهیم که هر مدول پادهاپفی تک زنجیری است. مدول تک زنجیری به مدولی گفته می شود که همه ی زیرمدول های آن با رابطه ی شمول مقایسه پذیر باشند. پس از آن مدول های پادهاپفی را روی برخی از حلقه های خاص در نظر می گیریم و در مورد مدول های پادهاپفی روی حلقه های تعویض پذیر اطلاعات بیشتری به دست می آوریم. فرض کنید ‎r‎ یک حلقه ی تعویض پذیر و ‎m‎ یک r-‎مدول نامتناهی و غیرساده باشد. در این صورت m‎ پادهاپفی است اگر و تنها اگر شبکه ی زیرمدول های m یکریخت با ?+1 باشد (که در آن ? اولین عدد ترتیبی نامتناهی است ). در ادامه مدول های پادهاپفی را روی حلقه های ارزه ی گسسته، دامنه های تقریبا ددکیند و دامنه های ددکیند مورد مطالعه قرار می دهیم. فرض کنید d‎ یک دامنه ی ددکیند، k ‎‎ میدان کسرهای d ‎و ‎p ایده ال اولی از d‎ باشد. می دانیم ‎k/d‎ یک ‎d-‎مدول تاب دار است. در این صورت ما ‎p-‎مولفه ی ‎k/d‎ را با ‎c(p^?)‎ نمایش می دهیم و عبارت است از اعضایی از k/d که توسط توانی از p صفر می شوند. ما نشان می دهیم که هر مدول پادهاپفی روی یک دامنه ی ددکیند یکریخت با c(p^?)‎ است. پس از آن مدول های hs را تعریف می کنیم. به مدول نامتناهی ‎m‎ روی حلقه ی ‎r «به طور تصویری کوچکتر»‎ ( به اختصار ‎hs‎ ) گوییم هرگاه برای هر زیرمدول ناصفر ‎n‎ از ‎m‎ داشته باشیم |m/n|<|m|. برای مثال میدان های نامتناهی و حلقه ی اعداد صحیح به عنوان مدول روی خودشان hs هستند. برای این که hs بودن مدولی بررسی کنیم کافی است تنها برای زیرمدول های دوری آن شرط hs را بررسی کنیم. در ادامه رده ی وسیع تری از مدول ها را معرفی می کنیم که تعریف آن توسیعی از مدول های پادهاپفی و مدول های hs است. فرض کنید ‎r‎ یک حلقه و m‎ یک ‎r-‎مدول یکانی نامتناهی باشد. گوییم ‎m «به طور تصویری متجانس»‎ ( به اختصار ‎hc‎ ) است هرگاه برای هر زیرمدول ‎n‎ از m با شرط |m/n|=|m| داشته باشیم: m ?m/n. در این پایان نامه به مطالعه ی مدول های ‎hc‎ روی حلقه های تعویض پذیر می پردازیم. پس از یک بازنگری نسبتا خوب برای جذابیت بیشتر موضوع، چند مثال ساده از مدول های ‎hc‎ را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس چندین نتیجه ی کلی را در مورد مدول های ‎hc‎ ثابت می کنیم.‏ از نتایج به دست آمده برای توصیف مدول های ‎hc‎ تک زنجیری‏ استفاده می کنیم. پس از آن مدول های ‎hc‎‏ را در حالت های نوتری و آرتینی مورد بررسی قرار می دهیم و در ادامه‎‎‎‎‎ به مشخصه سازی کامل مدول های ‎hc‎ روی دامنه های ددکیند می پردازیم. در آخر با چند سوال باز پایان نامه را به اتمام می رسانیم.