این پایان نامه از دو قسمت تشکیل شده است. در قسمت اول به بررسی یک بازی یا فرایند روی یک گراف به نام بازی شلیک چیپ می پردازیم.بازی شلیک چیپ یک بازی یک نفره با یک فرایند انتشار روی یک گراف است. در این قسمت بازی شلیک چیپ روی گراف های غیرجهت دار و جهت دار، هم چنین نسخه تغییر یافته ای از این بازی به نام بازی دلار را مورد تحلیل و بررسی جامع قرار می دهیم. قسمت دوم این پایان نامه به پاسخ به برخی از سوالات باز در زمینه یک نوع رنگ آمیزی راسی روی گراف ها به نام b-رنگ آمیزی اختصاص یافته است، که در این قسمت، حاصل ضرب دکارتی مسیرها، دورها و گراف های کامل و هم چنین گراف های کنسر را مطالعه می کنیم.

ایده های متفاوتی برای اثبات وجود مجانبی موجودات ترکیبیاتی وجود دارد، روش هایی برای اثبات که در بسیاری از مواقع کاملاً متفاوت از هم می باشند. این پایان نامه دنبال یک روش واحد برای بررسی این موارد است، که برای این منظور قضیه وجود مجانبی برای تجزیه گراف های کامل یال-رنگ آمیزی شده بیان می شود. با توجه به معادل بودن بسیاری از موجودات ترکیبیاتی با یک ‎-g‎تجزیه ای از گراف کامل یال-رنگ آمیزی شده می شود از قضیه فوق برای بررسی آن ها استفاده کرد.