در این رساله n-امین مدول کوهمولوژی موضعی ازr-مدول m در یک زیرکاتگوری سر از کاتگوری r-مدولها از پایین (i<n) و از بالا (i>n)مطالعه می شوند. در حالت کلی عمق و رشته های منظم تعریف می شوند. رابطه آنها با کوهمولوژی موضعی نشان می دهد که مطالعه مدولهای کوهمولوژی موضعی یک r-مدول متناهی مولد از بالا در یک زیرکاتگوری سر از کاتگوری r-مدولها فقط به تکیه گاه مدول بستگی دارد.

فرض کنید g = (v;e) گرافی با مجموعه رئوس v و مجموعه یالهای e باشد. مجموعه d از از رئوس گراف g یک مجموعه احاطه گر است هرگاه هر عضو v-d با راسی از d مجاور باشد. مجموعه d از رئوس گراف g یک مجموعه احاطه گر مهار شده است هرگاه هر راسی که در d نیست با راسی از d و راسی از v-d مجاور باشد. عدد احاطه ای مهار شده g یعنیr(g) مینیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر مهار شده در g است. در این پایان نامه کرانهایی برایr(g) پیدا کرده و گرافهایی را که این کران ها را اختیار میکنند دسته بندی میکنیم.

مجموعه های احاطه ‏‏گر موضوعی کاربردی و گسترده در نظریه ی گراف می باشد که به صورت های گوناگونی تعمیم یافته و مورد مطالعه قرار گرفته است. زیرمجموعه ی ‎$s$‎ از ‎$‎v(‎g)$‎ را یک مجموعه‎‏ ی احاطه ‏گر گویند هرگاه ‎$n[s]=v(g)$‎. کمترین اندازه ممکن برای یک مجموعه ی احاطه گر را عدد احاطه ای گویند و با ‎$gamma(g)$‎ ‎‏نمایش می دهند. تابع ‎$f:v(g) ightarrow {0,1‎, ‎2}$‎ را یک تابع احاطه گر رومی روی ‎$g$‎ گویند هر گاه هر رأس ‎$vin v(g)$‎ با ‎$f(v)=0$‎ دارای یک همسایه ‎‎‎‎‎‎مانند ‎$‎u‎‎$‎‎‎ باشد به طوری که ‎$f(u)=2$‎‎‏. وزن یک تابع احاطه گر رومی ‎$‎‎‎f‎$‎ به صورت ‎$omega(f)=sum_{uin v(g)}f(u)$‎ تعریف می شود. کمترین وزن‎‏ یک تابع احاطه گر رومی روی ‎$g$‎ را عدد احاطه ای رومی ‎$‎‎‎g‎$‎ گویند و با‎‏ ‎$gamma_{r}(g)$‎ نمایش می دهند. کمترین تعداد یال هایی که می بایست از گراف ‎$g$‎ حذف شود تا عدد احاطه ای رومی آن افزایش یابد را عدد بانداژ رومی گویند و آن را با ‎$b_r(g)$‎ نمایش می دهند. تابع احاطه گر ‎$f$‎‏ ‎‎از ‎$g$‎ را مهار شده گویند در صورتی که زیرگراف القایی توسط ‎$‎v_0‎$‎‎‏ دارای راس تنها نباشد. کمترین وزن یک تابع احاطه گر رومی مهارشده روی ‎$g$‎ را عدد احاطه ای رومی مهارشده ‎$g$‎ گویند و با ‎$gamma_{rr}(g)$‎ نمایش می دهند. یک تابع احاطه گر رومی ماکسیمال روی ‎$g$‎، یک تابع احاطه گر رومی است به طوری که ‎$v_0 = {w in v(g) | f(w)=0}$‎ یک مجموعه ی احاطه گر روی ‎$g$‎ نباشد. کمترین وزن ممکن برای یک تابع احاطه گر رومی ماکسیمال روی ‎$g$‎ را عدد احاطه ای رومی ماکسیمال ‎$g$‎ گویند و با ‎$gamma_{mr}(g)$‎ نمایش می دهند. در این رساله برای عدد بانداژ رومی چند کران ارائه شده و در برخی از آنها گراف هایی که مقدار دقیق کران را احراز می کنند، دسته بندی شده است. در ادامه عدد احاطه ای رومی مهارشده و عدد احاطه ای رومی ماکسیمال برای اولین بار معرفی و برای هر یک چند کران قابل وصول ارائه شده است. مقدار دقیق این پارامترها نیز در برخی از گراف ها محاسبه گردیده است.

فرض کنید (g=(v,e گرافی با مجموعه رئوس v و مجموعه یال های e باشد. مجموعه d از رئوس گراف g، یک مجموعه احاطه گر است، هرگاه هر عضو v-d با رأسی از d، مجاور باشد. می نیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر را عدد احاطه ای g گویند و با نماد (γ(g نشان می دهند. مجموعه d از رئوس گراف g، یک مجموعه مستقل است، هرگاه هیچ دو رأسی از d، در g مجاور نباشد. ماکسیمم اندازه یک مجموعه مستقل را عدد استقلال g گویند و با نماد γ(g نشان می دهند. مجموعه d از رئوس گراف g، یک مجموعه احاطه گر مستقل است، هرگاه d هم احاطه گر و هم مستقل باشد. می نیمم اندازه یک مجموعه احاطه گر مستقل را عدد احاطه ای مستقل g گویند و با نماد (i(g نشان می دهند. در این پایان نامه، کران هایی برای (i(g پیدا کرده و گراف هایی را که این کران ها را اختیار می کنند، دسته بندی می کنیم و نیز یک کران بالا برای حاصلجمع ( i(g)+i(¯g و حاصلضرب (i(g).i(¯g ارائه می کنیم.

فرض کنید g یک گراف با مجموعه راس های v و مجموعه یال های e باشد . مجموعه احاطه گر s را یک مجموعه احاطه گر مهار شده می نامند هرگاه هر راس از v-s با راسی از v-s مجاور باشد می نیمم تعداد اعضای یک مجموعه احاطه گر مهار شده گراف g را عدد احاطه ای مهار شده نامند و با (γr (g نمایش می دهند . مجموعه احاطه گر تام s را یک مجموعه احاطه گر تام مهار شده نامند هرگاه هر راسی از v-s با راسی از v-s مجاور باشد . می نیمم تعداد اعضای یک مجموعه احاطه گر تام مهار شده گراف g را عدد احاطه ای تام مهار شده نامیده و با (γtr (g نمایش می دهند.در این رساله عددهای احاطه ای مهارشده و احاطه ای تام مهار شده در گرافها و رابطه آنها با اعداد احاطه ای و احاطه ای تام مطالعه می کنیم . همچنین کرانهایی را برای مجموع عددهای احاطه ای مهارشده یک گراف و مکمل آن ارایه می دهیم .