در سال 1904‎‏ ‎‎پوانکاره ‎ پرسشی را مطرح می کند‏، کره ی سه بعدی تنها منیفلد بسته ای است که در آن هر کمند‎ می تواند به یک نقطه انقباض ‎ پیدا کند‏، این پرسش دارای جواب مثبتی است و به حدس پوانکاره معروف است.‎ ‎در 1980‏ ‎‎ترستن ‎نشان داد که کلاس بزرگی از منیفلدهای سه بعدی‏، هذلولوی هستند. در همین زمان او حدسی هندسی برای تمامی منیفلدهای سه بعدی ارائه می دهد که حدس پوانکاره یک حالت خاص آن است. ‎ اثبات حدس پوانکاره در پی اثبات حدس ترستن در سال 2003 توسط پرلمان صورت گرفت.‎ ‎در سال 1982 ‎‎ ترستن قضیه ی هندسی سازی را برای اُربیفلدهای سه بعدی بیان می کند. نظریه ی اُربیفلدها در زمینه های مختلف ریاضیات نظیر هندسه دیفرانسیل‏، جبر و توپولوژی بسیار مورد توجه است.‎‎ ‎ اُربیفلدها دارای تاریخچه ای طولانی هستند که برای اولین بار در توپولوژی و هندسه دیفرانسیل توسط ‎‎ ساتاکه ‎ در سال 1950 ‎‎‎‎‎‎‎‎‎ به نام منیفلدهایی با فضای اصلی مدولی بیان شد. او اُربیفلدها را به عنوان فضاهای توپولوژیکی که تعمیم منیفلدها هستند‏، معرفی کرد. در سال 1970 ویلیام ترستن‏، از ‎ ‎v‎ ‎‎- منیفلدها برای کار بر روی رده بندی هندسی اُربیفلدهای سه بعدی استفاده کرد.‎‎‎‎ ‎ ‎‎در سال 1976‏، ویلیام ترستن تصمیم می گیرد که کلمه ی جدیدی را جایگزین ‎ ‎v‎‎‎- منیفلدهای ساتاکه کند. اولین انتخاب وی ‎ ‎manifolded‎ ‎ و انتخاب بعدی کلمه ی ‎ ‎foldimani‎ ‎ بود که خیلی مورد پسند عام نبود بنابراین‏، تصمیم می گیرد که برای انتخاب یک نام مناسب از پیشنهادات مردم استفاده کند که در این میان کلمه ی پیشنهادی ‎ ‎orbifold‎ ‎ توسط بیل برودرانتخاب می شود. امروزه ‎ ‎v‎ ‎‎- منیفلد را با نام ‎‎‎اُربیفلد می شناسند‎.‎‎ ‎در واقع مفهوم اُربیفلدها تعمیمی طبیعی از منیفلدها است. می دانیم یک منیفلد به صورت موضعی با بازهایی از فضای ‎‎ ‎اقلیدسی ‎ r^nهومئومورف است اما یک اُربیفلد با فضای خارج قسمتی ایجادشده توسط عمل موثر یک گروه متناهی از دیفئومورفیسم ها روی زیرمجموعه های باز فضای اقلیدسی ‎n‎ بعدی r^n‎می باشد. ‎به جهت بهره مندی بیشتر از این پژوهش‏، در فصل اول مفاهیم پایه بیان و‎‎ ‎‎در فصل دوم به معرفی شبه گروه و g- منیفلدها‎‏،ساختارهای هندسی و رده بندی هندسی‎ منیفلدها از دیدگاه ترستن پرداخته‎‎‎‎ شده است. ‎ در فصل سوم اُربیفلدهای دو بعدی و رده بندی هندسی آن ها معرفی‎ شده اند و ‎‎‎‎ ‎‎در بخش‎‎ ضمیمه نگاهی اجمالی بر زندگی پوانکاره‏، ترستن و پرلمان شده است تا آشنایی بیشتری با این بزرگان علم هندسه و تأثیر ژرف آن ها بر این علم صورت پذیرد.