دو فضای توپولوژیک را هم ارزمشبکه ای گویند هرگاه بتوان یک نگاشت دو سویی بین مشبکه ی مجموعه های بسته ی آن تعریف کرد که خودش و معکوسش حافظ ترتیب باشند. در ابتدا thron به مطالعه ی این مطلب که چه شرایطی باید اعمال شوند تا فضاهای هم ارزمشبکه ای همسانریخت گردند پرداخت؛ پس از آن در طول سالها چندین محقق با مفهوم هم ارزی های مشبکه ای در فضاهای توپولوژیک و نمایش مشبکه ی مجرد به عنوان گردایه ای از زیرمجموعه های بسته ی یک فضای توپولوژیک کار کردند. ولی هنوز مسیر زیادی برای رسیدن به یک جواب کامل برای این مسئله پیش رو است. در خلال این تحقیقات مفهوم شبه همسانریختی بیان شد. همچنین مفهوم شبه همسانریختی در مباحث هندسه ی جبری توسط grothendieck ارائه شد. در این پایان نامه ما مفهوم شبه همسانریختی و هم ارزی مشبکه ای را در فضاهای توپولوژیک بررسی می کنیم. شایان ذکر است که در سال 1972, yip در این زمینه مطالعاتی را انجام داده است. همچنین ما به بررسی ویژگی های هم ارزی های مشبکه ای و شبه همسانریختی ها در فضاهای بستار نیز می پردازیم. چندین مشخصه از این مفاهیم قبلا مورد بررسی قرار گرفته اند, اما بطور کلی نتایج مهم این پایان نامه تعمیمی از نتایج بدست آمده در فضاهای توپولوژیک توسط echi و lazzar به فضاهای بستار؛ و در نتیجه به فضاهای توپولوژیک تعمیم یافته؛ می باشد. این تعمیم توسط عملگر بستار انجام می شود.