فرض کنیدrحلقه چند جمله ای ها با n متغییرروی میدان k بوده وiیک ایده ال تک جمله ای آزاد از مربع از حلقهr باشد وبرای هر1< s فرض کنید(a ss (ri^s مجموعه ایده الهای اول وابسته بهri^s باشد بسیاری از خانواده های ایده الهای تک جمله ای ازاد ازمربع شناخته شده اند که درخاصیت پایداری برای ایده الهای اول وابسته صدق می کند باطرح این سوال که کدام ایده الهای تک جمله ای ازاد از مربع در خاصیت فوق صدق میکنند خانونده ای از ایده الهای تک جمله ای ازاد از مربع وابسته به یک گراف را معرفی و ثابت می کنیم که دراین خاصیت صدق می کنند در این پایان نامه اعضای (a ss (ri^s وعددپایداری معرفی می شود وویژگی پایداری برای بررسی میشود