چکیده بسیاری‎ از شاخه های فیزیک حالت جامد به این موضوع پرداخته می شود که چگونه انواع مختلف نظم از برهم کنش بین اجزای تشکیل دهنده ی مواد حاصل می شود. حالت های دارای نظم مانند: بلور‏، مغناطش‏، ابرشاره از شکست تقارن شناخته می شوند. ‏از‎ سال ‎1982‎‎ شاخه های جدیدی از ریاضیات که شامل هندسه ی کوانتومی و توپولوژی بودند‏، به فیزیک حالت جامد راه یافتند‏ و سبب پیدایش بینشی جدید و راه های تازه در فیزیک حالت جامد شدند. ‏یکی از آن ها کشف عایق های توپولوژیک شد. شاخه ی جدیدی از مواد‏‏، که دانشمندان علم مواد‏ را که سال ها این مواد را بدون توجه به این ویژگی مطالعه می کردند‏، حیرت زده کرد. در این شاخه از مواد نظم هندسی حفظ می شود. این نظم از تقارن وارونی زمان حاصل می شود. در این پایان نامه این دسته از مواد مطالعه شدند. در بیان ریاضی‏، شکل های فاقد گره‏، شکل های دارای توپولوژی بدیهی نام گذاری شده اند و شکل های گره‏ دار، شکل های با توپولوژی غیربدیهی نام گذاری شده اند. در مکانیک کوانتومی‏، هندسه با انرژی پیوند می خورد. تغییر شکل به صورت تغییر آدیاباتیک هامیلتونی و پیوستگی با فقدان شکاف انرژی پدیدار می شوند. توپولوژی یک حالت کوانتومی تا زمانی که شکاف انرژی پدیدار نشود‏، ثابت باقی می ماند. نقاط فاقد شکاف انرژی نقاطی هستند که تقارن وارونی زمان را حفظ می کنند و تبهگنی کرامرز در آن ها رخ می دهد. تقارن وارونی زمان یکی از مهم ترین تقارن های موجود در طبیعت است. قسمت داخلی عایق های توپولوژیک‏، عایق است و با شکاف انرژی در باند الکتریکی ظاهر می شوند‏، اما لبه ها و یا سطوح این مواد دارای حالت های بدون شکاف است که باعث رسانش در مرز سیستم می شوند. در این پایان نامه مدل هایی را در یک بعد و دو بعد معرفی می کنیم که در شاخه ی عایق های توپولوژیک قرار می گیرند و به منظور بررسی این مدل ها شناسه های توپولوژیکی که عایق های معمولی را از عایق های توپولوژیک و هم چنین عایق های توپولوژیک را از یکدیگر متمایز می سازد‏، مورد مطالعه قرار دادیم. یکی از معروف ترین این شناسه ها عدد چرن است. در سال 1988‎‎ هالدین مد‎‏لی پیشنهاد کرد که دارای توپولوژی غیر بدیهی بود. در این مدل اثر کوانتومی هال بدون وارد کردن میدان مغناطیسی ایجاد می شود و با شکست تقارن وارونی زمان همراه است. اثر کوانتومی هال برای گاز الکترونی دوبعدی در دماهای بسیار پایین و با وارد کردن میدان مغناطیسی بسیار قوی اتفاق می افتد. در این اثر برخلاف اثر هال عادی رسانندگی رفتار خطی با میدان مغناطیسی نشان نمی دهد. در این حالت رسانندگی رفتار پله ای از خود نشان می دهد که در این پایان نامه به طور مفصل توضیح داده شده است. مدل پیشنهادی او با نام های عایق های چرن و یا اثر کوانتومی هال غیر عادی نیز شناخته می شود. ‏شناسه ی توپولوژیکی در یک بعد فاز زاک نامیده می شود. فاز زاک تاکنون به صورت تجربی نیز محاسبه شده است. به این منظور پلیمر دو اتمی از اتم های روبیدیم که با هامیلتونی مدل رایس-ملِ مطابقت داشت مورد بررسی قرار گرفته شده است. در این پایان نامه بستگی این ناوردای توپولوژیک به مقدار انتگرال پرش الکترون را بررسی کردیم. همچنین شرط وجود حالت های مرزی در یک بعد را تعیین و تابع موج مرزی را به دست آوردیم.