مجموعه رأسی بی دور کننده در گراف همبند g، عبارت است از زیرمجموعه ای از رأس های g، چنان که حذف آن ها گراف را به یک جنگل تبدیل کند. با استفاده از نتایج شناخته شده برای رنگ آمیزی بدون دور برخی خانواده های بزرگ گراف ها، می توان کران های پایین و بالای جدیدی برای اندازه ی مینیمم مجموعه رأسی بی دور کننده در این خانواده ها بدست آورد. در فصل دوم علاوه بر پرداختن به این موضوع، با استفاده از یک الگوریتم، کران بالای دیگری برای مینیمم مجموعه رأسی بی دور کننده در گراف های مسطح برحسب ماکزیمم تعداد دورهای رأس مجزا، تعیین می کنیم. مفاهیم تباهیدگی و دینامیک مونوپولی را در فصل سوم مورد بررسی قرار داده و الگوریتمی با رشد چندجمله ای برای تشخیص kـ تباهیدگی گراف ارائه می دهیم، سپس به بررسی ارتباط بین دینامیک مونوپولی و تباهیدگی گراف پرداخته و در نهایت از قضیه های ارائه شده، برای تخمین اندازه ی ماکزیمم زیرگراف القایی kـ تباه شدنی در گراف های معمولی و منتظم استفاده می کنیم. در فصل چهارم با فرض اینکه (alpha_{d}(g نمایش ماکزیمم تعداد رأس های زیرگراف d ـ تباه شدنی القایی گراف g باشد، کران های پایین دقیقی برای(alpha_{d}(g بر حسب دنباله ی درجه های g بدست آورده، سپس مینیمم تعداد یال های گراف n رأسی g را که alpha_{d}(g)leq m، به خصوص برای هر mleq n، تعیین می کنیم.