مسئله جریان با هزینه مینیمم ‎ (mcf)(minimum cost flowدر یک شبکه که تعدادی از رئوس، دارای مقداری موجودی از یک کالا و تعدادی دیگر متقاضی مقداری از همان کالا هستند و برای هر یال مقادیری برای حداقل و حداکثر کالای عبوری و هزینه عبور یک واحد کالا مشخص شده است، به دنبال پیدا کردن جریانی از آن کالا است که در کران های داده شده برای میزان جریان برای یال ها صدق کند، تقاضای رأس ها را برآورده کند و کمترین هزینه را داشته باشد‎.‎ %در مسئله ‎mcf‎ فرض بر این است که جریان ورودی به یک یال با جریان خارج شده از آن یال برابر است. توسیعی از مسئله ‎mcf‎ با نام مسئله جریان با هزینه مینیمم تعمیم یافته gmcf) generalized minimum cost flow‎ بیان شده که در این مسئله مقدار جریان روی یک یال با تاثیر یک ضریب به صورت خطی افزایش و یا کاهش می یابد. یک توسیع ویژه از مسئله ‎ gmcf $‎، مسئله جریان با هزینه مینیمم تعمیم یافته با کران پایین متغیر ‎(gmcf-vlb) (generalized minimum cost flow with variable lower bound)‎ است، که برای هر یال جریان عبوری می تواند صفر باشد و یا از حداقل میزان مجاز داده شده، کمتر نباشد. این مسئله برای اولین بار در سال ‎2010‎ مطرح شده و از لحاظ تئوری و کاربردی از اهمیت بالایی برخوردار است. ثابت شده است که این مسئله، یک مسئله ‎- np‎سخت است و تاکنون کسی موفق به ارائه الگوریتم کارا برای این مسئله نشده است‎.‎ در این پایان نامه مسئله ‎(gmcf-vlb) ‎ بصورت دقیق بیان و مورد مطالعه قرار می گیرد. علاوه بر این مسائل جریان با هزینه مینیمم با کران پایین متغیر ‎ (mcf-vlb)‎ و مسئله جریان ماکزیمم با کران پایین متغیر ‎ (mf-vlb)‎ که هر دو حالت خاصی از مسئله ‎ gmcf-vlb ‎ هستند مورد مطالعه قرار می گیرد و نتایج موجود برای حل این مسئله ها در شرایط مختلف بیان و بررسی می شود.