این پایان نامه، به بررسی رفتار دینامیکی مدل هایی از اپیدمیولوژی و اکولوژی می پردازد. در حقیقت هدف ما پرداختن به مدل زمان ‎شکار-شکارچی زمان گسسته ریکاردو-مالتوس و مدل اپیدمی ‎sis‎ زمان گسسته است. ابتدا مدل ریکاردو-مالتوس را در نظر می گیریم. نقطه تعادل مثبت، بررسی انشعاب ‎های مضاعف و نیمارک-ساکر و انشعاب های ‎همبعد ?‎، ‎تشدید ?:?‎ و تشدید ‎?:?‎ و معرفی فرم های نرمال‎، از جمله مواردی هستند، که به آن ها می پردازیم. سپس مدل اپیدمی ‎sis‎ را در نظر می گیریم و به طور مشابه پایداری نقاط تعادل، بررسی انشعاب های همبعد ‎?‎، تشدید قوی ‎?:?‎ و ‎?:?‎ را با استفاده از محاسبه مستقیم فرم های نرمال مورد بررسی قرار می دهیم. نمایش نمودارهای انشعاب و مدارهای این مدل به ازای بعضی مقادیر پارامترها، در نشان دادن این ویژگی ها به ما کمک می کنند. هم چنین وجود دینامیک آشوبی را با استفاده از محاسبه نمای های لیاپانوف خواهیم دید. قسمت اعظمی از ریاضیات زیستی به بررسی دینامیک های مدل های جمعیتی اکولوژی و اپیدمی می پردازد. در این بین می توان به مدل های شکار-شکارچی، انگل-میزبان و مدل های اپیدمی اشاره نمود‎.‎ یکی از مفاهیم مهمی که در طبیعت و در میان گونه های مختلف مطرح می شود، مفهوم ‎ {رقابت}‎ است. رقابت، تعامل بین گونه هاست که باعث کاهش تناسب یک گونه به دلیل وجود گونه دیگر می شود. کاهش منابع نظیر آب و غذا و قلمرو زندگی از جمله اثرات رقابت بر محیط زیست است. رقابت ها می توانند درون گونه ای و برون گونه ای باشند. به رقابت میان اعضای یک گونه، رقابت درون گونه ای و به رقابت میان اعضای گونه های مختلف، رقابت برون گونه ای گویند. بر اساس اصول رقابتی، افرادی که کمتر در موقعیت های رقابتی قرار می گیرند، یا باید با شرایط کنار بیایند و یا کشته شوند. از جمله رقابت های درون گونه ای می توان به رقابت میان درختان نزدیک به هم اشاره کرد که برای بدست آوردن نور یا آب و یا مواد معدنی موجود در خاک با هم رقابت می کنند. هم چنین از رقابت های برون گونه ای می توان به رقابت میان حیوانات گوشت خوار مختلف برای بدست آوردن شکار اشاره کرد‎.‎ساده ترین مدل جمعیتی رقابتی زمان {continuous}‎ اولین بار به وسیله ورهالست ‎ معرفی شد که نرخ رشد جمعیت گونه های تنها را توصیف می کرد {16}‎. لوتکا و ولترا‎ اولین کسانی هستند که تعامل شکار-شکارچی را در سال ‎1926‎ با معرفی مدل زمان پیوسته شکار-شکارچی لوتکا-ولترای مشهور توصیف کردند. اشکال مدل لوتکا-ولترا که این مدل را غیر واقعی می سازد آن است که، شکارچی هرگز سیر نمی شود. اپیدمیولوژی نقش مهمی در پیشرفت و بقای جامعه بشری بازی می کند. اخیرا مدل های اپیدمی زمان گسسته تعریف شده اند تا سیر تکامل دینامیک های اپیدمی را توصیف کنند. کاستیلو -چاوز و یاکوب مدل ا پیدمی ‎sis‎ گسسته را پیشنهاد کردند و دینامیک های پیچیده آن را مطالعه کردند . بعضی مدل های اپیدمی نوع ‎sis‎ , ‎sir‎ و ‎si‎ زمان گسسته بوسیله آلن معرفی شد ‎. آلن و برگین به مقایسه ی دینامیک های جبری و تصادفی ‎sis‎ زمان گسسته و مدل اپیدمی ‎sir‎ پرداختند ‎. ژو و فرگولا مدل ‎sis‎ اپیدمی ساختار-سنی گسسته را مطالعه کردند و فهمیدند که اساس تعداد مولد و آستانه وجود و انقراض بیماری ها است . ‎‎ مطالعه دینامیکی مدل های اکولوژی و اپیدمیولوژی از اهمیت ویژه ای برخوردار هستند. در این پایان نامه به بررسی پایداری، انشعاب ها و{chaos}‎ سیستم های گسسته فوق می پردازیم‎.‎ آشوب واژه ای است که رفتار به ظاهر پیچیده ای را در سیستم هایی که خوش رفتار و ساده به نظر می رسند، توصیف می کند. رفتار آشوبناک در نگاه اول بی نظم و تصادفی به نظر می رسد. مانند رفتار سیستم های پیچیده که درجه آزادی بسیار زیادی دارند. بسیاری آشوب را یک رفتار طولانی مدت و غیر تناوبی تعریف می کنند که وابستگی بسیار به شرایط اولیه دارد و در سیستم های معین یعنی سیستم هایی رخ می دهد که دارای پارامترها یا ورودی های تصادفی نیستند و این رفتار بی نظم سیستم ها را ناشی از غیر خطی بودن آن ها می دانند‎.‎