برگروه لی‎$ g=so_{0}(n,1) $‎، یک متریک ناوردای چپ تعریف می شود که از فرم کیلینگ-کارتان بدست می آید. زیرگروه فشرده همبند بیشین آن عبارت است از ‎$ so(n)=so(n) imeslbrace 1 brace $‎که با‎$ k $‎ نمایش می دهیم.گروه طولپایی های‎$ g $‎ عبارت است از ‎egin{equation*}‎ ‎isom_{0}(g)=g imes k‎, ‎end{equation*}‎ یعنی ضرب چپ توسط عضو های‎$ g $‎ و ضرب راست توسط عضو های ‎$ k $.‎ بنابراین، دو عمل برای ‎$ k $‎ وجود دارد، ‎$ ell(k)subset g $‎ و ‎$‎ .‎r(k)=k $‎ نگاشت مشتق پوشای ریمانی همگن توسط ‎$ r(k) $-‎عمل طولپا(که آزاد و سره است) ‎egin{equation*}‎ ‎so(n) ightarrow so_{0}(n,1) ightarrow so_{0}(n,1)/so(n)‎ ‎end{equation*}‎ کاملا مطالعه شده است: ‎$ so_{0}(n,1)/so(n) $‎ فضای ابربریکی‎$ n $‎ -بعدی‎$ h^{n} $‎ است‎.‎ هدف پایان نامه مطالعه نگاشت مشتق پوشای ریمانی همگن ‎$ varphi $‎توسط ‎$ ell(k) $-‎عمل بر‎$ so_{0}(n,1) $‎ است. ‎egin{equation*}‎ ‎so(n) ightarrow so_{0}(n,1)longrightarrow mathcal{h}^{n}=so(n)setminus so_{0}(n,1)‎. ‎end{equation*}‎ فضای ‎$ so(n) setminus so_{0}(n,1) $‎ با‎$ h^{n} $‎ وابرسان است، ولی از نظر متریکی کاملا متفاوت است. بصورت صریح تر نشان داده می شود که متریک فضای ‎$ so(n)setminus so_{0}(n,1) $‎ با ‎$ h^{n} $‎همدیس نیست و این فضا تقارن های کمتری دارد. نتیجه های پایین در پایان نامه اثبات می شود‎:‎ ‎1.$iso{m_0}({mathcal{h}^n}) = r(so(n))$‎ ، و فضا دارای نقطه ثابت ‎$ lbracef{i} brace $‎ است، ‎‎ ‎2.$ mathcal{h}^{n}-lbracef{i} brace $‎عبارت است از ضرب تابدار ‎$ (1,infty) imes_{e^{2varphi}}s^{n-1} $‎، ‎‎ ‎3‎. خمیدگی برشی فضا در نابرابری ‎$ 0<kappaleq 5 $‎ صدق می کند و ‎$ kappa=5 $‎ تنها درنقطه ‎$ f{i} $‎ بدست می آید‎،‎ ساختار پایان نامه چنین است. فصل اول شامل پیش نیازها است. فصل دوم به بررسی ویژگی های هندسی ‎$ so(n)setminus so_{0}(n,1) $‎ می پردازد، که شامل چهار بخش است. در بخش اول، یک متریک ناوردای چپ بر ‎$ so_{0}(n,1) $‎ تعریف می شود، و تجزیه ایواساوای ‎$ kan $‎ برای ‎$ g $‎داده می شود ،که ‎$ k $‎ فشرده ، ‎$ a $‎ آبلی ،و ‎$ n $‎ زیر گروه پوچ توان است در این بخش فضای ‎$ mathcal{h}^{n}=ell(k)setminus g $‎ معرفی می شود‎.‎ بخش دو , ‎$ mathcal{h}^{2} $‎را مطالعه می کند. این بخش با توصیف متریک ریمانی بر‎$ mathcal{h}^{2} $‎ آغازمی شود،این متریک بطور طبیعی از متریک ‎$ so_{0}(2,1) $‎ القا می شود. اگر از دستگاه مختصات سراسری برای ‎$ so_{0}(2,1) $‎ بهره بریم‎،$ x $،$ y $،$ z $،‎به ترتیب برای ‎$ n $‎ ،‎$ a $‎ و ‎$ k $‎ ،‎$ h^{2}=so_{0}(2,1)/k $‎ استاندارد و‎$ mathcal{h}^{2}=ksetminus so_{0}(2,1) $‎ ما دستگاه مختصات سراسری یکسانی دارند(یعنی مدل نیم صفحه بالایی) توسط صفحه‎$ xy $.‎نگاشت های مشتق پوشای ریمانی ‎$ so_{0}(2,1) ightarrow so_{0}(2,1)/k $‎ و ‎$ so_{0}(2,1) ightarrow ksetminus so_{0}(2,1) $‎ متریک های یکتا بر فضاهای خارج قسمتی ‎$h^{2} $‎ و ‎$ mathcal{h}^{2} $‎ بدست می دهد. بابهره بردن از این متریک می توان ناورداهای هندسی بسیاری را شامل گروه طولپایی های ‎$ mathcal{h}^{2} $‎ و خمیدگی برشی محاسبه کرد‎.‎ در بخش سه،دو هندسه ‎$h^{2} $‎ و ‎$mathcal{h}^{2} $‎، مدل نیم صفحه بالایی, باهم سنجیده می شود. یک نگاشت وارون سازی طبیعی بین دو فضا وجود دارد. ‎$ mathcal{h}^{2}-lbrace i brace $‎ و ‎$ h^{2}-lbrace i brace $‎ به صورت ضرب تابدار بیان می شود. این نمایش در محاسبه خمیدگی در بُعدهای بالاتر‎$ mathcal{h}^{n} $‎ نقش ایفا می کند. همچنین جنبه های دیگر دو هندسه ،مانند ژئودزیک ها بررسی می شود‎.‎ بخش چهار گسترش نتیجه های پیشین به فضای ‎$‎ -‎n $‎بعدی , ‎$mathcal{h}^{n}$‎ است .دوباره، ‎$ mathcal{h}^{n}-lbrace i brace $‎به صورت ضرب تابدار نوشته می شود. با بهره بردن از این حقیقت،خمیدگی برشی می تواند محاسبه شود. با شگفتی دیده می شود این خمیدگی مثبت است واز بالا باعدد ‎$ 5 $‎ ,مانند حالت دو بعدی کراندار است. بازبرد اصلی این پایان نامه ‎$ [1] $‎ است.