برای حلقه جا به جا یی ‎r با مقسوم علیه های صفر (‎z(r، گراف مقسوم علیه صفر از ‎r‎ به صورت ???(r)=z(r)-{0}‎ تعریف می شود، به این ترتیب که رئوس متمایز x و ‎y‎ مجاور هستند اگر و تنها اگر ‎xy=0. در این رساله، مشخص می کنیم چه زمانی diam(?(r))?2 یا ‎gr(???(r))? 4‎. از این نتایج برای بررسی قطر و کمر برای گراف های مقسوم علیه صفر حلقه های چندجمله ای، حلقه های سری های توانی، و ایده آل سازی استفاده می کنیم.