در این پایان نامه، در حلقه های مشخصی که شامل عناصر خودتوان غیرمرکزی هستند، همومورفیسم ها، اشتقاق ها و ضربگرها را بوسیله ی اعمال آنها روی عناصری که در برخی از شرایط خاص صدق می کنند، مشخص می کنیم. برای مثال، شرطی را در نظر می گیریم که در آن هرگاه ‎$ h $‎ یک نگاشت جمعی بین حلقه های ‎$ mathcal{a} $‎ و ‎$ mathcal{b} $‎ و ‎$ x,y,z in mathcal{a} $‎ به گونه ای باشند که ‎$ xy=yz=‎0 ‎$‎، آنگاه ‎$ h $‎ در شرط ‎$ h(x) h(y) h(z)=‎0 ‎$‎ صدق کند. به عنوان یک کاربرد، بعضی از نتایج جدید درباره ی اشتقاق های موضعی و ضربگرهای موضعی را به دست می آوریم. به ویژه، ثابت می کنیم که اگر ‎$ mathcal{a} $‎ یک حلقه ی اول شامل یک عنصر خودتوان غیربدیهی باشد، آنگاه هر اشتقاق موضعی از ‎$ mathcal{a} $‎ به توی خودش، یک اشتقاق خواهد بود.