یکی از مهم ترین مسایل بازارهای سرمایه که در حوزه ریاضیات مالی پاسخ داده می شود، مساله مدل سازی و قیمت گذاری مشتقات است. مشتقات ابزارهای مالی هستند که ارزششان به نوسانات قیمت دارایی پایه – که می تواند سهام شرکتی، نرخ بهره، نرخ ارز، قیمت یک مشتقه مالی دیگر باشد- وابسته است. در این میان اختیارات اوراق قرضه، قراردادهای نسبتاً جدیدی هستند که مورد توجه تحلیل گران مالی و سرمایه گذاران قرار گرفته است. مکانیسم این نوع مشتقات به طور مختصر به این صورت است که، دارایی پایه اختیار معامله، اوراق قرضه است. از آن جایی که رابطه تنگاتنگی بین اوراق قرضه و نرخ بهره کوتاه مدت وجود دارد، تغییر قیمت در این نوع اختیار به شدت به رفتار نرخ بهره وابسته است، از این رو آشنایی با مدل های نرخ بهره می تواند در مطالعه این نوع از اختیارات مفید واقع شود. ‎لذا‎ در ابتدا مدل های نرخ بهره و اوراق قرضه بدون کوپن بررسی می شود و سپس نحوه مدل سازی قیمت یک ورقه قرضه تحت دینامیک نرخ بهره کوتاه مدت ارایه می گردد. در مرحله بعد با مطالعه اختیارات آمریکایی‏، نشان می دهیم که مدل قیمت این اختیارات منجر به یک مساله کران متحرک می شود‏، حل این نوع مسایل به خاطر وجود کران های متحرک پیچیده است‏، لذا برای رهایی از کران های متحر‎ک‎، مساله متمم را معرفی می کنیم و نشان می دهیم جواب مساله متمم معادل با جواب مساله اصلی است. در ادامه اختیارات آمریکایی تحت دارایی پایه اوراق قرضه را مورد بحث و بررسی قرار می دهیم و مساله کران متحر‎ک‎ و مساله متمم را برای این نوع اختیارات نیز ارایه می کنیم.‎‎ ‎ سپس با معرفی روش حجم متناهی‏ و جریمه‏، این روش ها برای تقریب جواب مساله متمم برخاسته از مساله قیمت گذاری اختیارات آمریکایی تحت اوراق قرضه بدون کوپن پیاده سازی می شوند. و ‎در‎ پایان نتایج حاصل از پیاده سازی روش های عددی را و با نتایج حاصل از الگوریتم برنان-شوارتز مقایسه می کنیم.