تاکنون‎نتایج متعددی درباره شرط های کافی برای اینکه نگاشت‎f(z)‎‎روی دیسک واحد باز‎u‎‎تحلیلی و محدب باشد ارائه شده است.‎فرض کنیم‎a‎کلاس تمام نگاشت های‎به فرم‎‎‎‎ f(z)=z+?_(n=2)^???a_n z^n ?, (z?u) باشند که در دیسک واحد باز u={z?c; |z|<1}‎ تحلیلی بوده و ‎در‎ شرط نرمالیزه f(0)=f^(0)-1=0 صدق کنند. در این پایان نامه ‎‎با استفاده از لم ‎جک‎‎‎‎ به بررسی شرایطی برای نگاشت تحلیلی ‎‎f(z)‎‎ می پردازیم به طوری که برای ‎‎1<‎?<3‎ در رابطه پیروی (zf(z))/(f(z))?(?(1-z))/(?-z) صدق کند. در ادامه با استفاده از لم جک خواصی را مورد بررسی قرار می دهیم که نگاشت تحلیلی ‎f(z)‎را ستاره گون یا محدب از مرتبه ? کند. به علاوه‏، برای نگاشت تحلیلی ویژه ‎g(z) روی دیسک واحد باز ‎u‎‏، دو زیرکلاسp(?,?,g)و q(?,?,g)‎‎‎را معرفی نموده و شرط های کافی برای اینکه نگاشت تحلیلی ‎f(z)به کلاس های فوق متعلق شود را ارائه می دهیم و کاربردی از لم جک را برای این دو زیرکلاس برمی شماریم.

منطقه مورد مطالعه، برگه 1:100000 بسطام بخشی از شمال شرقی زون البرز است. توده های نفوذی این منطقه باعث تشکیل ذخایر آهن شده اند. هدف از انجام این مطالعه، تهیه نقشه پتانسیل مطلوب ذخایر آهندر برگه 1:100000 بسطام است. اولین مرحله در تهیه ی نقشه ی پتانسیل مطلوب، شناسایی داده-های مورد نیاز برای تلفیق می باشد.از این رو در این پژوهش چهار لایه ی اطلاعاتی زمین شناسی، دورسنجی، ژئوشیمی و ساختاری برای تلفیق در محیط gis انتخاب گردید.از نظر زمین شناسی ذخایر آهن مرتبط با واحدهای نفوذی می باشند، به همین دلیل برگه 1:100000 زمین شناسی بسطام رقومی شده و واحدهای نفوذی این منطقه تفکیک شدند.در مبحث دورسنجی با استفاده از تصاویر ماهواره ای استر، آلترسیون های اکسید آهن،جدا شده که این فرآیند با استفاده از تکنیک های آنالیز مولفه ی اصلی و نسبت های باندی انجام گرفت. پردازش داده های ژئوشیمیایی رسوبات آبراهه ای با استفاده از روش تحلیل فاکتوری مرحله ای و تهیه نقشه با استفاده از شاخص احتمالی کانی سازی ژئوشیمیایی برای ذخایر آهن نوع اسکارن انجام و به عنوان یکی از لایه های اطلاعاتی در نظر گرفته شد. در هر یک از داده هایزمین شناسی و دورسنجی مورد استفاده در این پژوهش به دلیل ارتباط ذخایر آهن و به ویژه برونزدهای اکسید آهن با گسلیا خطواره ها، گسل های منطقه نیز شناسایی و به عنوان لایه ی اطلاعاتی دیگر در تهیه نقشه پتانسیل مطلوب در نظر گرفته شد. در نهایت، لایه های اطلاعاتی تهیه شده با استفاده از روش منطق فازی با هم تلفیق شده و نقشه ی پتانسیل مطلوب آهن برگه 1:100000 بسطام ارائه گردید. برای سنجش مطلوبیت نقشه پتانسیل مطلوب تولید شده، از موقعیت معادن فعال آهن منطقه استفاده و مناسب ترین مناطق برای ادامه ی فعالیت های اکتشافی تعیین شدند. از جمله اندیس های مهم و قابل توجه در برگه ی مذکور معدن سنگ آهن لجنه است که موقعیت این معدن بر روی نقشه پتانسیل مطلوب تولید شده در زون های پتانسل بالا قرار گرفته که با توجه به این موضوع می توان مطلوبیت نقشه نهایی را تایید کرد. در نهایت با در نظر گرفتن نقشه پتانسیل مطلوب تولید شده، مناطقی برای تمرکز عملیات اکتشافی معرفی شدند.