در این رساله ضمن تعریف درجه جابجایی یک گروه متناهی ، ارتباط آن را با مفاهیمی چون پوچتوانی ، حلپذیری و ابرحلپذیری بیان می کنیم سپس گروههای متناهی با حداکثر سه درجه جابجایی نسبی را مورد بررسی قرار داده و گروههای با چنین ویژگی را رده بندی می کنیم . در ادامه به معرفی دو تعمیم متفاوت از درجه جابجایی یک گروه می پردازیم . ابتدا احتمال جابجایی متقابل دو زیر مجموعه از گروه و سپس احتمال ثابت نگه داشتن یک عنصر توسط یک خودریختی به پیمانه یک زیرگروه مشخصه را بیان می نماییم. در پایان مفهوم جدید پوچتوانی و حلپذیری نسبت به یک خودریختی در گروههارا معرفی و برخی تعاریف جدید مانند جابجاگر و سری مرکزی بالایی و پایینی نسبت به یک خودریختی را بیان و نتایج و قضایایی را با این مفاهیم جدید ارایه می دهیم .

در این پایان نامه بعضی نتایج روی عدد خوشه ای و عدد رنگی گراف ایده آل های پوچ ساز یکدیگر حلقه جابجایی را نشان می دهیم. هم چنین ثابت می شود اگر r حلقه ای آرتینی و عدد خوشه ای گراف ایده آل های پوچ ساز یکدیگر حلقه r دو باشد آن گاه r حلقه ای گرنشتاین است. به علاوه حلقه های جابجایی را که گراف ایده آل های پوچ ساز یکدیگر آن ها کامل، دربخشی یا ستاره ای باشد را بررسی می کنیم.

در این پایان نامه قصد داریم ضمن بررسی گراف ناجابجایی، تعمیمی از آن به صورت زیر ارایه دهیم. فرض کنید ‎n‎ عدد صحیح مثبت و ‎h زیرگروه غیرآبلی ‎g‎ باشد. ?nh,g را به این صورت به ‎h‎ نسبت می دهیم، که مجموعه رئوس این گراف از ‎ g cnh,gانتخاب شوند که ‎cnh,g={x? g:[x,yn]=1‎ , ‎[xn,y]=1 forall y? h}‎. همچنین رئوس ‎{x,y}‎ یک یال هستند، هرگاه ‎x‎ و ‎y به ‎h‎ تعلق داشته باشند و ‎xyn?ynx‎ یا ‎xny?yxn‎. این گراف راn -‎امین گراف ناجابجایی نسبی می نامیم. n-امین گراف ناجابجایی نسبی ?nh,g در سال ‎2011‎، توسط عرفانیان و طلوع معرفی شد.در حقیقت، n -امین درجه جابجایی نسبی ‎pn(h,g) ‎، که احتمال جابجایی n- امین توان یک عضو تصادفی از زیرگروه h‎ با عضو تصادفی دیگری در گروه ‎g‎ می باشد و گراف ناجابجایی، کلید های ساختن این گراف هستند.هدف اصلی این پایان نامه بررسی ویژگیهای گراف ‎ ?nh,g و ارتباط نزدیک آن با مفهوم ‎n-امین درجه جابجایی می باشد. همچنین به بیان وضعیت هایی می پردازیم که اگر دو گراف یکریخت داشته باشیم، آنگاه گروه های نظیر این دو گراف نیز یکریخت اند یا حداقل مرتبه آن ها برابر است. علاوه بر این نشان می دهیم ‏دو گروه نا آبلی ایزوکلینیک تحت شرایط ویژه ای گراف های یکریخت به وجود می آورند.

فرض کنید r یک حلقه جابجایی و (a(r مجموعه ایدآل هایی از rباشد که پوچساز آن ها ناصفر است. گراف ایدآل های پوچساز یکدیگر r بصورت ( a(r نشان داده که مجموعه رأس های آن {(a(r)*=a(r)-{(0)} بوده و دو رأس متمایزi و jمجاورند اگر ij=(0). در این پایان نامه حلقه های جابجایی را بررسی می کنیم که گراف ایدآل های پوچساز آن ها دارای گونای متناهی و مثبت باشد. در حالتی که r حلقه ای آرتینی بوده وag(r)) ℵ) <∞، نشان داده می شود که یا r فقط تعداد متناهی ایدآل دارد و یا (r,) حلقه ای گرنشتاین بوده v:dim r μ/μ2 = 2 . همچنین برای هر دو عدد صحیح g ≥ 0 و q>0 نشان داده می شود که تعداد متناهی رده های یکریخت از حلقه های آرتینی مانند rوجود دارد بطوریکه برای هر ایدآل ماکسیمال μ از r داریم ℵ (ag(r)) = g and (ii)j r/μ ≤q|. بعلاوه اگرr حلقه ای موضعی، نوتری باشد که حوزه صحیح نبوده و (ag(r)) < ∞، آنگاه یا r حلقه ای گرنشتاین است و یا r حلقه ای آرتینی با تعداد متناهی ایدآل است.

در این پایان نامه ضمن بررسی خواص اساسی گراف ناجابجایی یک تعمیم از آن به صورت زیر ارایه می شود.

مطالعه ساختارهای جبری با استفاده از ویژگی گراف نظر ریاضیدانان زیادی را به خود جلب کرده است و مقالات بسیاری در این زمینه نوشته شده است در سراسر این پایان نامه تمامی حلقه ها یکدار و جابجایی فرض شده است و مجموعه همه ایده آلهای را با و مجموعه همه ایده آلها با پوچساز ناصفر از را با نشان می دهیم . نظریه گرافها نظریه حلقه ها 1988 بک 1999 اندرسون – لیوینگستون 2011بهبودی - راکعی : به وضوح گراف َ تهی است اگروتنها اگر یک حوزه صحیح باشد ودرحالتی که یک حلقه ارتینی باشدداریم گراف ایده ال های پوچساز همیشه ساده و همبند وگرافی غیر جهتدار است . هدف این پایان نامه بیان شرط لازم وکافی برای حلقه جابجایی آرتینی است که گراف ایده آل های پوچساز آن گراف ستاره ای باشد وهم چنین خواص مشخصه یک حلقه موضعی متناهی که گراف ایده آل های پوچساز آن گراف ستاره ای باشد را بیان می کنیم

در این پایان نامه حلقه های منظم ضعیف و قوی و تعمیم هایی از ‎$ v $‎-حلقه ها توسط ‎ ‎gw‎ ‎-ایده آلها مطالعه می شوند. در واقع نشان داده می شود که‎‎؛‎ (1) اگر ‎ ‎r‎ ‎ یک حلقه منظم ضعیف چپ باشد که ایده آلهای چپ ماکسیمال آن ‎ ‎gw‎ ‎-ایده آل باشند‏، آنگاه ‎ ‎r‎ ‎ منظم قوی است. (2) اگر ‎ ‎r‎ ‎ یک حلقه منظم ضعیف راست باشد که ایده آلهای چپ اساسی ماکسیمال آن ‎ ‎gw‎ ‎-ایده آل باشند‏، آنگاه ‎‎elt‎ ‎ منظم است. (3) اگر ‎ ‎r‎ ‎ حلقه ای باشد که برای هر ‎‎ a? r‎,‎ ‎‎‎l(a)‎ ‎‎ ‎ یک ‎ ‎gw‎ ‎-ایده آل باشد‏، آنگاه ‎ ‎r‎ ‎ منظم ضعیف چپ است اگر و فقط اگر ‎‎r‎ ‎ منظم ضعیف راست باشد. (4) حلقه ‎ ‎r‎ ‎ منظم قوی است اگر و فقط اگر یک ‎gp-v´‎-حلقه چپ ‎ ‎zi‎ ‎ باشد که ایده آلهای چپ اساسی ماکسیمال آن ‎$ ‎gw‎ $‎-ایده آل باشند. ‎(5)‎ اگر ‎ ‎r‎ ‎ یک ‎ ‎gp-v‎ ‎-حلقه چپ باشد بطوریکه برای هر ‎‎ ‎‎ a? r‎,‎ ‎‎ ‎l(a)‎ ‎‎ ‎ یک ‎ ‎gw‎ ‎-ایده آل باشد‏، آنگاه ‎ ‎r‎ ‎ منظم ضعیف است. (6) هر ‎ ‎gp-v‎ ‎-حلقه چپ یک حلقه غیرتکین راست است. همچنین بعضی از خواص ‎ gp-v´‎-حلقه ها و بعضی از ویژگی های مشخصه حلقه های منظم قوی و دومنظم ارائه شده است.

در این پایان نامه برای یک حلقه r گراف اشتراکی (g(r در نظر گرفته می شود که رأس ها ایده ال های چپ غیر بدیهی r بوده و دو رأس آن را مجاور تعریف می کنیم اگر اشتراک غیر بدیهی داشته باشند. در حالت خاص مقادیر طبیعی ازn که برای آن ها گراف اشتراکی z_n همبند،کامل ،دوبخشی،مسطح،دور،اویلری و همیلتونی است تعیین می شوند. همچنین نشان داده می شود (g(r کامل است اگر وفقط اگر ([g(r[x نیز چنین باشد. سپس گراف اشتراکی (g(m از یک r مدول m را در نظر می گیریم که رأس ها زیر مدول های غیر بدیهی m بوده و دو رأس آن را مجاور تعریف می کنیم اگر اشتراک غیر بدیهی داشته باشند. به علاوه ارتباط بین خاصیت های نظریه گرافی از گراف های وابسته به ان بررسی می شوند. همه مدول هایی که برای آن ها گراف اشتراکی زیر مدول ها همبند هستند توصیف می شوند و همچنین قطر و کمر این گراف ها تعین می شوند.