مشخصه سازی مجموعه های زیدن پیسیر شامل زیر مجموعه های تقزیبا مستقل ، با اندازه ی متناسب که از گروه هایی با تنها یک عدد متناهی از اعضا با مرتبه ی توانی از دو به دست می دهد . هیچ پیشرفتی برای زیرمجموعه ی زیدن در حالت عمومی که اعضای نا متناهی از مرتبه ی دو دارد وجود ندارد . ‎روش استفاده شده همچنین روش های زیرکانه ای از مشخصه سازی رمزی به دست می دهد که شامل مجموعه های زیدن رمزی به دست می دهد که شامل مجموعه های با اندازه متناسب زیرمجموعه های ${i_0}$ در یک روش یکنواخت می شود . همینطور در گروه های مشمول اما با تعداد متناهی از اعضای مرتبه ی دو‎.

فرض کنید a یک جبر باناخ تعویض پذیر منظم و نیمه ساده با همانی تقریبی کراندار باشد.ما ضربگرهای a،به ویژه ضربگرهای کراندار توانی،ایدال های وابسته به a و تصویر های a-پایا از فضای دوگان a را مورد بررسی قرار می دهیم.نمونه هایی از نتایج به دست آمده تعمیم قضایای کلاسیک چوکت-دنی و فاگول دربارهاندازه ها در گروه های موضعاً فشردهو آبلی هستند.نتایج حاصل شده به مجموعه های ترکیبی در طیف گلفاند a مرتبط می شوند و همچنین کاربرد های اصلی با جبر فوریه و جبر فوریه استیلجس از گروه های موضعاً فشرده ارتباط دارد

در این پایان نامه کرانداری توانی در جبر فوریه ‎a(g) و جبر فوریه اشتیلیس ‎b(g) از گروه به طور موضعی فشردهg ‎ و دیگر جبرهای جابه جایی روی گروه به طور موضعی فشرده ‎g ‎ را مورد بررسی قرار می دهیم. جواب دادن به سوالات زیر از اهداف اصلی این پایان نامه می باشد‎:‎ ‎(1‎ تحت چه شرایطی همه عناصر با شعاع طیفی حداکثر یک از هر کدام از جبرهای بالا کراندار توانی اند.‎ ‎(2 دسته بندی عناصر کراندار توانی در جبرهای ‎a(g)‎ و ‎b(g)‎ چیست؟‎ ‎(3 ساختار تبدیل گلفند یک عنصر کراندار توانی به چه صورت است؟

هم چنین ثابت می کنیم که اگر m یک جبر ون نیومان باشد، آن گاه هر زیرمجموعه کران دار و غیر تهی از l1-فضا که نسبت به توپولوژی اندازه فشرده است، دارای ویژگی نقطه ثابت برای نیم گروه های وارون پذیر چپ است.

فرض کنید g یک گروه فشرده آبلی و ? گروه دوگان g باشد. در این پایان نامه عملگر ضربگر t? روی (a(g که ? عنصری از(?? (? می باشد بررسی شده است . برای نمونه این سوال مطرح شده است که اگر f یک تابع دارای مربع انتگرال پذیر نسبت به اندازه ی هارگروه g باشد، برای تابع ? = f چه موقع عملگر 1t? - جمعی است . در این راستا ملاحظه می شود دقیقا فضای با ناخ تابعی بهینه( m? )اl1 موجود است که به طور چگال و پیوسته شامل جبر فوریه (a(g می باشد وt? دارای توسیع خطی(a(g – مقدار im? به ( m? )اl می باشد . فضای مناسب وابسته جهت مطالعه ( m? )اl و فضای sp (1 ? p ? ?)متشکل از تمام توابع در (lp (gاست که سری فوریه آن در (lp (gهمگرای غیر مشروط باشد . در این پایان نامه ثابت شده است که 1t? -جمعی است اگر و تنها اگر t? هسته ای باشد ، اگر و تنها اگر اندازه بردار(m? (e) := t? (?e با تغییر متناهی باشد . همچنین ثابت می شود که( m? )اl یک فضای باناخ همگن و در نتیجه یک جبر باناخ و یک (l1(g - مدول تحت ضرب پیچشی است .

فرض کنید a یک جبر csl در یک جبر فون-نیومن روی فضای هیلبرت h و m برابر با b(h)، یا a یک *c-جبر یکدار و m یک a -مدول دو طرفه یکانی باناخ باشد. در این پایان نامه ثابت می شود هر مشتق (تعمیم یافته) موضعی کران دار از a به m یک مشتق (تعمیم یافته) است. همچنین در این پایان نامه نقاط مشتق پذیر کلی مورد مطالعه قرار می گیرد و در این راستا ثابت می شود که اگر n یک آشیانه روی فضای باناخ x، و هر n متعلق به n که _n برابر با n، در x متمم پذیر باشد، آن گاه هر عملگر یک به یک و هر عملگر با برد چگال و هر عملگر خودتوان با برد متعلق به آشیانه، در algn، نقاط مشتق پذیر کلی algn می باشند.

بستار مجموعه تمام خودتوانهای ,دارای ارتباطات بسیارساده ای می باشد.دراین پایان نامه زیرمجموعه های متعددی از رامطرح وبه ارتباط آنهاونیزارتباط آن مجموعه هاباخواص می پردازیم.

با توجه به اینکه خواص پایه ای فضاهای متریک از اعمال جبری اعداد حقیقی به دست آمده، ای ایده کاملا طبیعی است که در فضاهای متریک به جای اینکه برد تابع متریک در r قرار گیرد در یک فضای برداری (و یا باناخ) قرار گیرد. این ایده اولین بار توسط هانگ و زانگ تحت عنوان فضاهای متریک مخروطی به طور رسمی مطرح گردید و پس از آن ریاضیدانان زیادی به آن علاقه نشان داده و مباحث مختلف مطرح شده در فضاهای متریک را در فضاهای متریک مخروطی مورد مطالعه قرار داده اند. در این پایان نامه خواص در فضاهای متریک مخروطی مورد بررسی قرار گرفته است که از میان آنها می توان به پیرافشردگی، کامل شده این فضاها، فضاهای متریک نرمدار و خواص منظم بودن آن اشاره کرد.

تعمیم های بسیاری از فضاهای متریک وجود دارد. فضاهای منگر فضاهای متریک فازی فضاهای متریک تعمیم یافته فضاهای متریک مخروطی مجرد یا فضاهای متریک و نرمال متریک منظم و فضاهای متریک مخروطی منظم و .... در سال 2007 هانک و زانگ فضاهای متریک مخروطی را معرفی کردند بی اطلاع از این که این مفهوم قبلا تحت عنوان فضاها ی متریک و نرمال که در اواسط قرن 20 معرفی شده به کار رفته است در هر دو مورد مجموعه از اعداد حقیقی با یک فضاهای باناخ مرتب جایگزین می شود هر چند هانک و زانگ همگرایی از طریق نقاط درونی را د رمخروط با ترتیبی که در تعریف شده یود در پسش گرفتند این را ه امکاه تحقیق از فضاهای مخروطی در مواردی که مخروط لزوما نرمال نیست را می دهد در ادامه ان ها با علاقه مندی فقط نتایج مخروط ضمن مروری برمهمترین نتایج به دست امده در مورد فضاهای متریک مخروطی مواردی که توسیع به دست امده از فضاهای متریک واقعی می باشد را روشن تر نماییم در این راستا مخروط ها ی غیر نرمال و نیز مخروط های منظم مورد مطالعه قرارگرفته اند. و اخرین نتایج در این حوزه ارانه گردیده است

با توجه به اینکه خواص پایه ای فضاهای متریک از اعمال جبری اعداد حقیقی بدست می آید ، این ایده کاملا طبیعی است که در فضاهای متریک به جای اینکه برد تابع متریک در r قرار گیرد در یک فضای برداری ( و یا باناخ ) قرار گیرد . این ایده برای اولین بار توسط هانگ و زانگ تحت عنوان فضاهای متریک مخروطی به طور رسمی مطرح گردید و پس از آن ریاضیدانان زیادی به آن علاقه نشان داده و مباحث مختلف مطرح شده در فضاهای متریک را در فضاهای متریک مخروطی مورد مطالعه قرار داده اند . هدف اصلی در این پایان نامه مطالعه نقاط ثابت مشترک در فضاهای متریک مخروطی می باشد . در این راستا ارتباط نقاط انطباق ، توابع نوع کیلر – میر ، نقاط متناوب و – c فاصله ها با نقاط ثابت مشترک توابع روی فضاهای متریک مخروطی بررسی می شود و نتایج جدیدی از قضایای نقطه ثابت به دست می آید .

فضاهای متریک مخروطی با جایگزین کردن مجموعه اعداد حقیقی با یک فضای باناخ مطرح و قضایای بسیاری در مورد آن ثابت شده است. به عنوان تعمیمی از فضاهای متریک مخروطی، توسط برخی نویسندگان فضای باناخ فوق الذکر با یک فضای توپولوژیک برداری جابه جا شده است. با این تعمیم طیف گسترده تری از فضاهای مخروطی به دست می آید. در این پایان نامه به مطالعه این نوع فضاهای مخروطی پرداخته شده و چندین مقاله جدید در این خصوص مطالعه شده است.

بعد از معرفی فضاهای متریک مخروطی، دیدگاه های متفاوتی در خصوص این که آیا این فضاها تعمیمی واقعی از فضاهای متریک معمولی هستند یا خیر مطرح شده است. در این خصوص در مقالات متعددی به صورت پراکنده قضایایی از قبیل متریک پذیری یا معادل بودن این فضاها با فضاهای متریک معمولی مطرح شده است. در مقابل نیز برخی مقالات، با ارائه قضایا و مثال هایی سعی در نشان دادن تفاوت های ذاتی فضاهای متریک مخروطی با فضاهای متریک معمولی داشته اند. در این پایان نامه با جمع آوری و مطالعه کاملی از این مقالات سعی داریم میزان تفاوت این دو نوع فضا را مشخص کنیم.