1)فرض کنید g=(v,e) یک گراف ساده باشد.همسا یگی بسته رأس v?v را بصورت زیر نشان می دهیم : n[v]={u:uv?e}?{v} 2)تابعf:v?{-1,1} را تابع غالب علامت دار(signed dominating function یا به اختصار s.d.f) نامیم هرگاه به ازای هر v?v داشته باشیم f[v]=?_(u?n[v])?f(u) ?1:. 3)وزنfکه یکsdfمی باشد به صورت مقابل تعریف می شود: f(g)=?_(v?v)?f(v) . 4)می نیمم وزن تابع غالب علامتدار تعریف شده روی گراف g را با نماد?_s (g) نشان داده و آن را عدد غا لب علامت گذاری شده گراف (sined domination number)می نامیم. 5) مکمل گراف g یعنیg ?=(v,e ? ) گرافی با همان رئوس گرافg است بطوریکه: ?u?v?v uv?e ??uv?e . 6) همسایگی بستهv در گراف g ? را با نماد n_g ? [v] نشان می دهیم. در این تحقیق قصد داریم کرانی برای ?_sیک گراف و ?_sمکمل آن و حاصل جمع آنهابدست آوریم و همچنین قصد داریم ارتباط بین ?_s یک گراف و?_sمکملش را مشخص کنیم و ?_sبعضی گرافها ی خاص را بدست آوریم. فرض کنیم g گرافی باn راس باشد الف) اگر ?_s (g)=n آنگاه داریم:0??_s (g ? )?4 ب)شرط لازم و کافی برای آنکه ?_s (g)+?_s (g ? )=2n و?_s (g) ?_s (g ? )=n^2 باشد آن است که g? {p_1,p_2,(p_2 ) ?,p_3,(p_3 ) ?,p_4 }. پ)?_s (g)+?_s (g ? )?-n-2+?(8n+1)