در این پایان نامه خانواده ای از توابع همساز مختلط مقدار حافظ جهت را که در دیسک واحد dنرمالیزه شده ونزدیک به محدب هستند را بررسی می کنیم. ابتدا شرایطی را در نظر می گیریم که تحت آنها عناصر این خانواده روی dنزدیک به محدب باشند و در ادامه شرط کافی برای آنکه fدر این خانواده قرار گیرد را ارائه میدهیم. با استفاده از این شرط، شرایط کافی برای نزدیک به محدب بودن f بر حسب ضرایب قسمت تحلیلی و هم تحلیلی آن به دست می آوریم. در نهایت شرایطی را برای a و b تعیین می کنیم به طوری که f(z)=zf(a,b;a+b;z)+(?z^2 f(a,b;a+b;z) ) ?, یک تابع نزدیک به محدب (و تک ارز) در dمی باشد که در آن یک تابع فوق هندسی گاوسی را نشان میدهد. .