در این نوشتار، ابتدا به معرفی و بررسی اجمالی ولگشت کلاسیکی روی خط می پردازیم. توزیع احتمال، انحراف معیار و ضریب پخش را برای آن محاسبه می کنیم و با ‏کمک شبیه سازی بعضی از این خواص را بررسی می کنیم. سپس به ولگشت کوانتومی روی خط می پردازیم. عملگر تحول را معرفی می کنیم و اثر آن را بر حالت ولگشت بررسی می کنیم. نمودار توزیع احتمال را برای این ولگشت محاسبه کرده و تفاوت آن را با ولگشت کلاسیکی نشان خواهیم داد. همین طور، برای مقایسه با ولگشت کلاسیکی نمودار واریانس را برای ولگشت کوانتومی رسم می کنیم. نشان خواهیم داد که چگونه با داشتن هر حالت و استفاده از عملگر تحول می توانیم حالت بعد را بسازیم. با استفاده از تبدیل فوریه، عملگر تحول را به فضای ‎k برده و در آن جا ویژه مقادیر و ویژه بردارهای ولگشت کوانتومی روی خط را تعیین می کنیم. در فصل ‎2‎ مدلی دیگر از ولگشت کوانتومی به نام ولگشت کوانتومی روی دایره ‎(چرخه)‎ را معرفی می کنیم. روابط تحول را برای این ولگشت نیز تعیین کرده و عملگر تحول ولگشت کوانتومی رو خط را به گونه ای تغییر می دهیم که روی ولگشتی با تعداد متناهی جایگاه همچون ولگشت روی دایره، قابل استفاده باشد. برای عملگری که به این شکل تعریف کرده ایم، ویژه مقادیر و ویژه بردارها را به دست می آوریم. سپس مفهوم توزیع حدی را معرفی می کنیم و تلاش می کنیم تا با استفاده از ویژه مقادیر و ویژه بردارهایی که پیش تر به دست آوردیم، یک توزیع حدی را برای ولگشت کوانتومی روی دایره به دست آورده و تحت شرایط مختلف آن را بررسی کنیم. زمان آمیختگی مفهوم دیگری است که در این فصل تعریف کرده و در ولگشت کوانتومی روی دایره برای آن حد بالایی را به دست می آوریم. در فصل آخر، مدل خود را از ولگشت کوانتومی با نام ولگشت کوانتومی موبیوسی ارائه می دهیم. این مدل در واقع نوع بهبود یافته ولگشت کوانتومی روی دایره است. در این مدل از طریق وارد کردن پارامتری به نام ‎?‎ و معرفی فضای هیلبرت جدیدی به مدل، تغییراتی در مدل ولگشت کوانتومی روی دایره ایجاد می کنیم که منجر به بهبود بعضی از پارامترهای مد نظر، از جمله توزیع حدی و زمان آمیختگی می شود. نشان می دهیم که چگونه ‎ ? ‎ باعث بهبود این پارامترها می شود. تغییرات ایجاد شده توسط ? را در ویژه مقادیر و ویژه بردارها بررسی می کنیم. شکل ورود و نحوه تاثیر آن را بر تبهگنی های ایجاد شده برای ویژه مقادیر بررسی می کنیم و به این ترتیب می توانیم ببینیم که چگونه بر پارامتری چون توزیع حدی تاثیر می گذارد. همین روال را در مورد زمان آمیختگی نیز تکرار می کنیم. در پایان فضای افزوده شده به مدل و قسمت اسپینی را به صورت درهم تنیده در نظر می گیریم و تاثیر درهم تنیدگی بر پارامترهای مهم را در ولگشت کوانتومی موبیوسی بررسی می کنیم.