در این پایان نامه، نشان می دهیم که هر شبه-نرم تعریف شده روی مخروط یک شبه-مترنمای توسیع یافته ایجاد می کند. همچنین، فضای دوگان مخروط شبه-نرم دار و توپولوژی ضعیف ستاره تعریف شده بر فضای دوگان مخروط شبه- نرم دار را مورد مطالعه قرار می دهیم. در ادامه، صورتی از قضیه آلااوغلو را برای این توپولوژی بیان کرده و ثابت می کنیم. بعلاوه، مترپذیری و شبه-مترپذیری گوی واحد را مورد بررسی قرار خواهیم داد. همچنین، فضای دوگان یک فضای خطی نرم دار نامتقارن را معرفی کرده و نشان می دهیم که در حالت کلی یک فضای برداری نیست. بالاخره، توپولوژی ضعیف را که به وسیله فضای برداری نرم دار نامتقارن و دوگان آن ایجاد می شود معرفی کرده و در اثبات صورت نامتقارن از قضیه آلااوغلو مورد استفاده قرار می دهیم.