فرض کنید s یک زیرمجموعه از گروه آبلی و متناهی g باشد. گراف کیلی جمعی را که با نشان می دهیم عبارت است از گرافی با مجموعه رئوس g و یال هایی از مجموعه ی یعنی بین دو رأس و در گراف g یال وجود دارد اگر و تنها اگر در این پایان نامه هدف تعیین همبندی گراف های کیلی جمعی است. یادآوری می کنیم که کمترین تعداد رأسی که با حذف آن از گراف ، گراف ناهمبند می شود و یا تنها یک رأس از آن باقی می ماند را همبندی رأسی تعریف می کنیم و با نشان می دهیم. ابتدا ثابت می کنیم همبند است اگر و تنها اگر s مشمول در یک همدسته از زیرگروه اکید g نباشد، مگر اینکه مشمول در یک همدسته ی ناصفر از یک گروه از شاخص 2 باشد. سپس خانواده ای از زیرگروه های g را به صورت معرفی کرده و را به صورت ، تعریف می کنیم و نشان می دهیم بنابراین یک کران بالا برای است. حال و را در نظر می گیریم به طوری که در شرایط زیر صدق کند. 1) 2) و خانواده ای از زیر گروه های را به صورت زیر تعریف می کنیم. }شرایط 1 و 2 برقرار باشند و قرار می دهیم و نشان می دهیم و در نتیجه نیز یک کران بالا برای است و در آخر با اثبات و چند نتیجه ی مهم از آن، همبندی رأسی گراف را مشخص می کنیم.