پس از دو دهه‎‏‏،‏‏ تحقیق روی مساله های وردشی مرکب خطی و تقریب عددی آن ها با روش های مرکب‏ توسط آرنولد‏، فالک‏ و ویندر‎ ‎‎‎‎‎ ‏به اوج خود رسیده است. آن ها نشان دادند که این مسایل می توانند با بسط حساب بیرونی عناصر متنا‎‏هی برای مسایل بیضوی با استفاده از مفاهیم و ابزارهایی از هیلبرت ‏مختلط درک شوند. در دو مقاله مرتبط هولست و استرین ‎‎‎‎‏زمینه کاری آرنولد و فالک را به مسایل نیمه‎‏ خطی بسط داد‏ند‏ که امکان تحلیل و تقریب عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی ‎‎ بیضوی هندسه خطی و غیرخطی را برای مسایلی که شامل جرایم وردشی‎ می شوند روی خمینه های ریمانی از بعد مکانی دلخواه فراهم می کنند‏ و اجازه تعمیم سطح نظریه تقریب عناصر متناهی را در چندین جهت می دهند. در‎‎ این پایان نامه‏‎،‎‏‎‎‎ حساب بیرونی عناصر متناهی ‏را در جهت دیگری بسط می دهیم‏، به این معنی که برای تکامل دستگاه های سهموی و هذلولوی می توانیم از مباحث هندسی و مساله های تکاملی دیگر استفاده کنیم. این روش ترکیبی از کارهای اخیر روی‎‎ حساب بیرونی عناصر متناهی ‏برای مسایل بیضوی با روشی کلاسیک‎ ‎جهت‎ حل مساله های تکاملی می باشد که از طریق روش های عناصر متناهی نیمه گسسته با بررسی جواب های مسایل تکاملی در فضای‏ های هیلبرت پارامتری شده (یا فضا‏های بوخنر‎ انجام می شود. برآورد خطای پیشینی برای تقریب گالرکین ‎‏روش‎‎ عناصر متناهی‏ در نورم های فضای هیلبرت پارامتری شده طبیعی براساس روش های کلاسیک توسط تامی‎‎ ‎‎ ‏برای مساله های سهموی و ‎گوچی‎ برای مساله های هذلولوی اثبات می کنیم.