در این پایان نامه ابتدا جبر غیر جابجایی چهارگان ها معرفی می شوند. سپس فضاهای هیلبرتی تعریف می کنیم که بر روی چهارگان ها بنا می شوند و ضرب داخلی چنین فضاهای هیلبرتی چهارگان مقدار است. پس از بررسی خواص چنین فضاهایی، عملگرهای خطی و کران دار روی آن ها را تعریف کرده و قضایای مهمی نظیر قضیه ی نگاشت باز، نمودار بسته و قضیه ی نمایش ریس را بر این فضاها تعمیم می دهیم. در نهایت به معرفی طیف و مجموعه ی حلال عملگر خطی کران دار و بررسی ویژگی های آن ها می پردازیم و در قضیه ی مهمی که در این فصل مطرح می کنیم نشان می دهیم در حالتی که عملگر پاد خود الحاق و یکانی باشد، طیف آن کره را می پوشاند. با توجه به این که عمل ضرب چهارگان ها غیر جابجایی است در مراحل مختلف تعمیم خواص موجود بر فضاهای هیلبرت مختلط به حالت چهارگانی مشکلاتی به وجود می آید که روند اثبات ها را پیچیده تر و در عین حال جذاب تر می کند.