برای یک ماتریس n- مربعی مختلط مانند a = (a_ij)، فرض کنید w(a)، برد عددی a بوده و g_w(a) : = conv (?_(i=1)^n??{z ? c ??|z- a_ii ?|? (?_(i?j )??(|a_ij |+|a_ji |)?)/? }) و g^ (a) = ?_(u ?u_n)??g_w (u^* au?), که در آن ،u_n گروه همه ماتریس های یکانی n×n می باشد. مجموعه g^ (a) ناحیه گرشگورین به طور یکانی تقلیل یافته ی a نامیده می شود. در این پایان نامه، برخی از خواص جبری و هندسی g_w(a) و g^ (a) مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته است. تآکید روی ماتریس هایی مانند a است که برای آنها، w(a) با g_w(a) یا g^ (a) برابر می باشد.