بررسی ارتباط بین گراف ها‎ با شاخه های دیگر علوم خصوصا شاخه های مختلف ریاضی‏، بدون شک پنجره ای بی بدیل برای جویندگان روش های نوین و متنوع باز کرده است. این ‏موضوع باعث پیدایش دید های بسیار متنوعی به مسایل و قضایای مختلف شده است. ارتباط بین گراف ها و جبر نیز باعث ایجاد ابزار جدید در هر دو حوزه علم ریاضی شده است. در مقاله های مورد مطالعه در این پایان نامه نیز به وضوح این موضوع مشهود است. در ابتدا در سال 1990 آقایان برتمن و هرزوگ مطالب مفیدی در مورد ارتباط بین اندازه رده های تزویج یک گروه و گراف مقسوم علیه مربوط به آن ها پرداختند. در سال 2012 تیم آقایان بیناچی و هرزوگ ارتباط بین گروه های متناهی و ‎گراف‎ مقسوم علیه های مشترک را در حالت متناهی و همین تیم با کمی جابجایی در اعضا‏، در سال 2013 این ارتباط را در حالت کلی اثبات نمودند.‎ ‎‎‎در فصل ‎‏اول‎ این پایان نامه تعریف ها و قضیه هایی که در فصل های بعد مورد استفاده قرار گرفته شده اند, آورده شده است‎.‎ ‎این مطالب در مورد گراف ها و گروه ها است و نظر به حجم زیاد مطالب‏، فقط مطالب مقدماتی و مورد نیاز در این فصل گنجانده شده است. در‎ فصل دوم به بیان تعریف ابتدایی از گراف مقسوم علیه مشترک یک در گروه های متناهی پرداخته ایم. تعاریف و قضایای این فصل مورد استفاده در فصل های بعد است.‎ ‎در فصل‎ سوم‎‎‎‎‎ به بررسی ارتباط بین منظم بودن گراف مقسوم علیه مشترک و مقسوم علیه اول گروه های متناهی و کامل بودن این گراف برای گراف های 2-منظم و 3-منظم می پردازیم. شیوه اثبات قضایا در این فصل بر مبنای گراف می باشد.‎ ‎در فصل چهارم کامل بودن گراف مقسوم علیه مشترک و گراف اول مربوط به گروه های متناهی را در حالت کلی اثبات می کنیم. شیوه اثبات در این فصل بیشتر با استفاده از اصول جبر می باشد‎. در پایان نیز به بیان مراجع مورد استفاده در پایان نامه و همچنین واژه نامه فارسی به انگلیسی برای لغات بکار رفته در مطالب پرداخته ایم.