فرض کنید g=(v,e) یک گراف همبند غیرجهتدار و c?v یک زیرمجموعه از رئوس باشد. اگر به ازای هر رأس v?v، مجموعه¬های n_g [v]?c غیرتهی و متفاوت باشند، آنگاه c را یک کدشناساگر می نامیم. در ادامه ویژگی های اساسی کدهای شناساگر را بررسی خواهیم کرد، یک کران بالا برای کدشناساگر مینیمم ارائه خواهیم داد و گراف هایی که این کران را بدست می دهند، بررسی خواهیم کرد. همچنین سیستم های نظاره گر در گراف را معرفی می کنیم، که یک توسیع از کدهای شناساگر است. مجموعه متناهی x را در نظر بگیرید، فرض کنید s یک خانواده از زیرمجموعه های x باشد و همچنین فرض کنید مجموعه ی معین s?x عضوی از s باشد. برای x?x، s-مجموعه شناساگر یا s-برچسب را به صورت زیر تعریف می¬کنیم: l_s (x)={s?s?x?s}s را یک سیستم شناساگر می¬نامیم هرگاه به ازای هر x?x، l_s (x) ها غیرتهی و دوبه¬دو مجزا باشند. گراف g=(v,e) را در نظر بگیرید. مجموعه متناهی w={w_1,w_2,…,w_k }، مجموعه¬ای از دوتایی های w_i=(v_i,z_i) است به گونه¬ای که v_i یک رأس و z_i?n_g [v_i] است. w را یک سیستم نظاره¬گر در g گوییم، اگر {z_1,z_2,…,z_k } یک سیستم شناساگر باشد. همچنین در ادامه ویژگی های اساسی سیستم¬های نظاره گر را بررسی خواهیم کرد، یک کران بالا برای سیستم نظاره گر مینیمم ارائه خواهیم داد و گراف هایی که این کران را بدست می دهند، بررسی خواهیم کرد.

این پایان نامه به مطالعه توپولوژی گروهی روی گروه بنیادی می پردازد. این مطالعات بیان کننده خواص موضعی فضاهاست که با نظریه ی فضاهای پوششی و هموتوپی قابل بیان نیست. واضح است که نتایج بدست آمده از بررسی گروه بنیادی به عنوان خارج قسمت فضای حلقه ها، اغلب گروه توپولوژیک نیست. از گروههای توپولوژیکی برای ساخت یک توپولوژی استفاده می کنیم که گروه بنیادی هر فضا را به ساختار گروه توپولوژیکی تبدیل می کند. یک پارامتر که آن را با علامت π 1t نشان می دهیم معرفی خواهیم کرد که مقادیر خود را در کاتگوری گروه های توپولوژیک اختیار می کند. از این پارامتر برای تشخیص فضاهایی که گروه بنیادی یکسان دارند استفاده می کنیم. مهمتر از همه آن که توپولوژی مذکور این امکان را می دهد که گروه های آزاد را به عنوان گروه های بنیادی نگاه کنیم و از مفاهیم توپولوژی جبری برای بررسی آن ها استفاده نماییم.