فرض کنید‎ g گرافی ساده و همبند‏، و ‎s={s_1,…s_k} زیرمجموعه ای ازv(g) باشد. برای هر رأس ‎v از ‎g کد متریک v‎ نسبت به ‎‎s عبارت است از بردار-kتایی r(v?s)?(d(v,s_1 ),…,d(v,s_k ) ). که در آن d(v,s_i )فاصله‎‏ ی بین دو رأس ‎‎v و ‎s_i ‏‎در‎ گراف‎‎‎ g است. اگر کدهای متریک رأس های متمایز g نسبت به ‎‎s از هم متمایز باشند، ‎‎s یک مجموعه کاشف‎ برای‎‎ gنامیده می شود. در بین مجموعه های کاشف، مجموعه های با کمترین اندازه را پایه متریک گراف‎‎ و اندازه چنین مجموعه هایی را بعد متریکg ‎ می نامند و با نماد ?(g) ‎‎‎‎نمایش می دهند. این مفهوم در سال ‎1975 ‎معرفی شده و پس از آن در مقاله های بسیاری مورد مطالعه قرار گرفته است. ‎مجموعه های کاشف در زمینه هدایت روبات ها‏، بازی حافظه برتر‏، وزن کردن سکه ها‏، جستجو و رسیدگی در شبکه‏ و داروسازی دارای کاربردهای قابل توجهی است. ‎‎در این پایان نامه به مطالعه بعد متریک گراف های کنسر و جانسون و ارائه ساختار های مختلفی از مجموعه های کاشف برای ‏این گراف ها،‎ به‎ ویژه ارتباط بین مجموعه های کاشف برای گراف های کنسر و جانسون با اشیاء ترکیبیاتی، که برای گراف های جانسون‎‎‏‏، شامل صفحه های تصویری و طرح های متقارن و برای گراف های کنسر‏، شامل هندسه های جزئی، ماتریس های هادامارد و شبکه های حلقوی ‏می باشد،‎‏ پرداخته شده است.