برای هر ‎x,y ?r ِِ d،یک مشتق ژردان نامیده می شود هرگاه ‎d(x^2)=d(x)x+xd(x) ‎ برای هر ‎x? r‎ . نگاشت ‎f‎ از حلقه ی ‎r‎ به خودش جابه جایی نامیده می شود هرگاه ‎ [f(x),x]=0‎ برای هر ‎x?r. هرمشتق یک مشتق ژردان است ولی عکس این مطلب صحیح نیست. یک نتیجه ی مشهور از هرشتاین ‎بیان می کند که هر مشتق ژردان در هر حلقه ی اول با مشخصه ی مخالف ‎2‎ یک مشتق است. برسار و واکمن ‎اثبات کوتاهی برای این نتیجه ارائه کردند. به علاوه کوساک ‎این نتیجه را برای حلقه های نیم اول تعمیم داد که بیان می کند هر مشتق ژردان از یک حلقه ی نیم اول ‎2-‎تاب یک مشتق است. ‎ یک نگاشت جمعی ‎t:r?r{عملگرضربی چپ ‎ نامیده می شود اگر ‎t(xy)=t(x)y‎ برای همه ی ‎x,y? r‎ برقرار باشد، بنابراین زمانی که ‎t(x^2)=t(x)xبرای هر x? r‎ برقرار باشد، گوییم ‎t‎ یک عملگر ضربی چپ ژردان است. به وضوح هر نگاشت عملگر ضربی چپ یک نگاشت عملگر ضربی چپ ژردان است. اما عکس این قضیه درحالت کلی درست