اگر~ یک رابطه روی r^n باشد وt یک عملگر خطی از r^n به r^n باشد، t را نگه دارنده خطی ~ کوییم هرگاه tx~ty، x~y را نتیجه دهد.t را نگه دارنده قوی ~ گوییم هرگاه x~y اگر و تنها اگر tx~ty . برای دو بردار x,y در r^n گوییم y بردار احاطه ساز سه قطری تعمیم یافته x است (باx?_gt y نمایش داده می شود) هرگاه ماتریس سه قطری تصادفی مضاعف d وجود داشته باشد به طوری که x=dy. علاوه بر این اگر y?_gt x آن را با نماد x~_gt y نشان می دهیم. در فصل دوم پایان نامه نشان می دهیم اگر t نگه دارنده خطی ?_gt باشد آن گاه داریم 1=(rank(t یا rank(t)=n-1 یا rank(t)=n . و نشان می دهیم t نگه دارنده خطی ?_gt است اگر و تنها اگر به یکی از سه شکل زیر باشد: 1- tx=tr(x) a که a برداری در r^n است. 2- tx=a ix+b jx که در آن a,b دو عدد در r هستند. 3- tx=a ix + b jx که در آن a,b دو عدد در r هستند و p ماتریسی است که درایه های قطر فرعی آن برابر یک و مابقی درایه های آن برابر صفر است. در فصل سوم نشان می دهیم که t نگه دارنده قوی ~_gt است اگر و تنها اگر به یکی از دو شکل زیر باشد: 1- tx=a ix+bjx که در آن a,b دو عدد در r هستند. 2- tx=a ix + b jx که در آن a,b دو عدد در r هستند و p ماتریسی است که درایه های قطر فرعی آن برابر یک و مابقی درایه های آن برابر صفر است