فرض کنید ‎g‎ یک گروه باشد. رابطه ~ ‎ را روی ‎‎‎‎g‎‎‏ به صورت زیر تعریف می‎کنیم‎ ? g ,h ?g g‎~h‎ ?‎‎ |‎g|=|h| ‎ ‏که در آن ‎ ‎‎‎|x‎|‎‏ مرتبه ی عضو ‎‎x‎‎‎‎‏ در گروه ‎‎‎‎g‎‏ است. به وضوح این رابطه‏، یک رابطه ی هم ارزی است.مجموعه‏ ی اندازه های رده های هم ارزی نسبت به این رابطه را نوع مرتبه ی یکسان ‎g‎ می نامیم.‎‎ برای مثال اگر ‎g?1‎ یک گروه تاب آزاد باشد نوع آن {? و ?}‎ است.گروه بدیهی و گروه z2 تنها گروه‏ های از نوع ‎{1} هستند. اگر {n1 , n2, … n3 } ‏، نوع مرتبه‏ ی یکسان گروه ‎g‎ باشد، آن گاه برای هر‎i? j، ‎ni? nj‎ ‎. مفهوم نوع را ایتو ‎(itô)‎ در سال 1953 درمورد رده های مزدوجی معرفی کرد. اگر ‎g‎ یک گروه متناهی باشدr } {n1 ,…,n‎ مجموعه ی اندازه های رده های مزدوجی اعضای g‎‎‏ باشد‏، به طوری که n1 =1 ‎ < n2‎ <... ‎< nr‎‎‎‏‏،‎‎ آن گاه گوییم ‎g‎‏ از نوع مزدوجی{n1,n,...,nr}‎‎‏ است. ‏می توان دید که اگر ‎ ‎g ‎‏یک‎ گروه د‏ل خواه با نوع مزدو‏جی r } {n1 ,…,n باشد‏، به طوری که ‎‎r‎ و ‎‎‎‎ni‎‏ها‎ متناهی باشند‏،‎آن گاه ‎g‎‎‏ ‎‎‏یک گروه متناهی است.‎ وا‏ضح است که فقط گروه آبلی از نوع ‎‎ {1} است. همچنین ایتو اثبات کرد ‏که گروه های متناهی از نوع مزدوجی ‎{1 , n }‎ و ‎{1 , n1 , n2}‎ به ترتیب پوچتوان و حل پذیر هستند. در این پایان نامه اندازه ی مجموعه ی اعضای از مرتبه ی یکسان را به جای اندازه ی رده های مزدوجی در قضایای ایتو قرار می دهیم و تعریف نوع مرتبه یکسان گروه را به دست می آوریم که مشابه همان تعریف ایتو است. در این تعریف جدید ممکن است گروه نامتناهی باشد. هم چنین گروه هایی را که از نوع مرتبه ی یکسان ‎{1, n}‎‎‏ یا ‎{1, m, n}‎‏ هستند‏، را بررسی می کنیم و ثابت خواهیم کرد که این گروه ها به ترتیب پوچ توان و حل پذیر هستند و ساختار آن ها را نیز مشخص خواهیم کرد. ‏‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ مقاله های زیر منابع اصلی این پایان نامه هستند ‎ ‎(1) rulin ‎shen‎, ‎"‎on finite groups with ‎given ‎same-order types". 40 (2012) 2140-2150.‎ ‎(2) cheng, ‎k.‎, ‎deaconescu, ‎m., ‎mong, ‎l.l, ‎and ‎shi, ‎w., "‎corrigendum ‎and ‎addendum ‎to ‎classification ‎of ‎finite ‎groups ‎with ‎all ‎elements ‎of ‎prime ‎order". 117 (1993) 1205-1207.‎ ‎‎ رده بندی موضوع: ‎20e34 - 20d10 - 20d60 - 20d06 کلمات کلیدی: ‏گروه های پوچ توان‏، نوع مرتبه ی یکسان‏، گروه های حل پذیر