گراف ?‎ را یک گراف دو-کیلی روی گروه ‎ gگوییم هرگاه زیرگروهی از ‎ aut(?)‎ یکریخت با ‎g‎ وجود داشته باشد که روی مجموعه ی رئوس ‎ ?به طور نیمه منظم عمل کند و دارای 2 مدار هم اندازه باشد. هر گراف دو-کیلی را می توان به صورت زیر نیز توصیف کرد: فرض کنید ‎$t$‎، ‎$s$‎، و ‎$r$‎ زیر مجموعه هایی از گروه ‎$ g $‎ باشند به طوری که ‎$ s^{-1}=s $‎ و ‎$ r^{-1}=r $‎ و ‎$ rcup s $‎ شامل عضو همانی ‎$ g $‎ نباشد، گراف ‎$ { m bicay} (g;r,s,t)$‎ به صورت زیر تعریف می شود. مجموعه رئوس آن ‎$ g imes {0,1} $‎ است و دو راس ‎$ (h,i) $‎ و ‎$(g,j),$‎ مجاورند اگر و تنها اگر یکی از سه حالت زیر رخ دهد ‎$ (1)$ $i=j=0$‎ ، ‎$gh^{-1}in r $‎ ‎$ (2)$ $ i=j=1$‎، ‎$gh^{-1}in s $‎ ‎$ (3)$ $ i=0,j=1 $‎، ‎$ gh^{-1}in t $‎. ‎‎ تعریف فوق بیان می کند هر گراف دو-کیلی ‎$ { m bicay} (g;r,s,t) $‎ شامل دو گراف کیلی ‎$ { m cay} (g,r) $‎ و ‎$ { m cay} (g,ُُُs) $‎ است به طوری که گراف های کیلی ‎$ { m cay} (g,r) $‎ و ‎$ { m cay} (g,s) $‎ بدون طوقه و غیرجهت دار هستند. برخی از محققین مجموعه های ‎$r$‎ و ‎$s$‎ را مجموعه های تهی درنظر می گیرند. این گراف را با ‎${ m bcay}(g,t)$‎ نشان می دهیم. از این رو ‎${ m bcay} (g,t)={ m bicay} (g;emptyset‎ ‎,emptyset,t)$.‎ بنابراین گراف دو-کیلی ‎${ m bcay}(g,t)$‎ از گروه ‎$g$‎ نسبت به مجموعه ی ‎$t$‎ یک گراف با مجموعه ی رئوس ‎$g imes{0‎, ‎1}$‎ و مجموعه یال های ‎$ lbrace {(x‎, ‎0),(tx‎, ‎1)} mid x in g‎, ‎ t in t brace$‎ است. این گراف یک گراف دوبخشی با دوبخشی سازی ‎$(g imes{0}‎, ‎g imes{1})$‎ است. گراف دو-کیلی ‎${ m‎ ‎bcay}(g,‎ ‎s)$‎ را یک گراف ‎${ m bci}$‎ یکریخت دو-کیلی، می نامیم، هرگاه به ازای هر گراف دو-کیلی ‎${ m bcay}(g‎, ‎t) $‎ که ‎$ { m‎ ‎bcay}(g,‎ ‎s) cong{ m‎ ‎bcay}(g,‎ ‎t) $‎ اعضای ‎$gin g$‎ و ‎$alphain { m aut} (g)$‎ وجود داشته باشند که ‎$t=gs^{alpha}$‎. فرض کنید ‎$m$‎ یک عدد صحیح مثبت باشد. گروه ‎$g$‎ را ‎$ { m bci}mbox{-}m$‎ گروه می نامیم، هرگاه همه ی گراف های دو-کیلی با ظرفیت حداکثر ‎$m$‎، یعنی ‎$vert s vertleq m$‎، گراف ‎${ m bci}$‎ باشند. %برای گروه متناهی ‎$g$‎ و زیر مجموعه ی ‎$s$‎ از ‎$g$‎ به طوری که ‎$ 1 otin s $‎ نباشد، %گراف کیلی جهت دار‎ $x=cay(g,s)$‎ ، ‎$g$‎ نسبت به ‎$s$‎ گرافی است با مجموعه رئوس ‎$g$‎ و مجموعه کمان های % ‎$$arc(x)=lbrace (x,sx)vert xin g vert‎ ,‎sin s brace$$‎ فرض کنید ‎n‎ یک عدد صحیح باشد. یک گراف ‎? که یک جورسازی کامل را داشته باشد را ‎n‎ توسعه پذیر می نامیم هرگاه دارای حداقل ?(2n+2) راس باشد، و هر جورسازی با اندازه ی ‎n‎ را بتوان به یک جورسازی کامل از ‎? ‎ گسترش داد. توسعه پذیری ‎ (?) ‎ برابر ماکسیمم عدد صحیح ‎n‎ است که ?‎، ‎ n‎توسعه پذیر باشد‎.‎ در این پایان نامه برخی خواص اساسی گراف ها ی دو-کیلی را بررسی می کنیم. گروه های ‎${ m bci}mbox{-}3$‎ را مطالعه می کنیم و هم چنین نشان می دهیم تنها گروه ناآبلی ساده و ‎$ mbox{-}{ m‎ ‎bci}mbox{-}3$‎ گروه ‎$a_5$‎ است. علاوه بر آن توسعه پذیری گراف ها ی دو-کیلی روی گروه آبلی متناهی را بررسی می کنیم، بویژه ‎$2$-‎توسعه پذیری و ‎$3$-‎توسعه پذیری گراف ها ی دو-کیلی از گروه های آبلی متناهی را توصیف می کنیم. مقاله های زیر منابع اصلی این پایان نامه هستند. کلمات کلیدی: عمل منظم و نیمه منظم، گراف کیلی، گراف دو-کیلی، جورسازی کامل، توسعه پذیری.