در فصل اخیر به تعریف کلاسیکی مسئله ی کپلر می پردازیم و بررسی می کنیم که آیا مسئله ی کپلرکلاسیکی مقدار ثابت دیگری را علاوه بر تکانه ی زاویه ای که از تقارن کروی پتانسیل کولمبی در سیستم است را دارا می باشد. سپس به تعیین مدارات حرکت جسم سماوی تحت پتانسیل کولمبی کلاسیک می پردازیم و ویژه مقدارهای انرژی مدارات کپلری را تعیین می نمائیم. در بررسی طیف انرژی اتم هیدروژن مشاهده شد که دارای تبهگنی بزرگتر از حد مربوط به حالت ناوردایی دورانی است پس با استفاده از معلومات مسئله ی کپلر این فرضیه قوت گرفت که اتم هیدروژن نیز دارای یک ثابت حرکت دیگری است که رفتارهای نامتعارف اتم هیدروژن ناشی از این ویژه مقدار است. می توانیم یک تقارن پنهان در اتم هیدروژن مربوط به مکانیک کوانتوم را با استفاده از مشابه مکانیک کوانتومی بردار رانگ لنز کلاسیکی امتحان می کنیم و روابط آن را با مولدهای گروه دورانی (3)so بیان می کنیم. در این راه ما از بعضی مفاهیم اساسی در نظریه ی گروه جبری استفاده می کنیم. نتایج توصیف ریاضی از تقارن مرتبه بالاتر تحت گروه (4)so ، یا گروه دورانی در 4 بعد است. از این روش جبری برای بدست آوردن سطوح انرژی اتم هیدروژن و بسیاری از ویژگی های اتم هیدروژن به طور مستقل از معادله ی شرودینگر استفاده می کنیم یعنی کارهای انجام گرفته تنها با در نظر گرفتن روش جبری و با استفاده از مشابه مکانیک کوانتومی بردار رانگ لنز در مکانیک کلاسیک است. در وهله ی بعد همین رویه را برای تعیین ویژه مقدارهای نوسانگر هارمونیک کوانتومی بر اساس اطلاعاتی که از نوسانگر هماهنگ کلاسیکی داشتیم ادامه می دهیم. روش تحلیلی را بر اساس معادله ی شرودینگر برای پیدا کردن نمایش جبری اتم هیدروژن و کمیت پایسته ی مربوط به این تقارن را مورد مطالعه قرار می دهیم. معادلات دیراک مربوط به حالتهای نسبیتی اتم هیدروژن و نوسانگر غیرنسبیتی را بررسی می کنیم و می بینیم که ثابت حرکت برای اتم هیدروژن برابر با بردار رانگ لنز و برای نوسانگر هارمونیک تانسور مرتبه دوم است که به ترتیب به تقارن (4)so برای اتم هیدروژن و (3)su برای نوسانگر منتهی می شود. سپس تقارن دینامیکی تکانه ی زاویه ای مداری و اسپینی معادله ی دیراک را بحث خواهیم کرد، هم چنین به بررسی حالت خاص می پردازیم که در آن معادله ی دیراک با تقارن های اسپینی و شبه اسپینی تحت پتانسیل های اسکالر و برداری با شدت مساوی (svpem) ، طیف یکسانی با ذره ی اسکالر می دهد و تساوی بین طیف های ذره ی اسپین 0 و اسپین 1/2 ما را به وجود تقارن دینامیکی در حد مکانیک کوانتوم نسبیتی رهنمون می سازد. در ادامه ما شرایطی که در آن تقارن (4)so برای اتم هیدروژن نسبیتی حفظ می شود را بررسی می کنیم و با استفاده از 3 نوع پتانسیل می بینیم که تقارن مذکور در اتم هیدروژن نسبیتی پایسته می ماند و در نهایت شرایطی را بررسی می کنیم که در آن تقارن اتم هیدروژن دیراک را می توان به نوسانگر هارمونیک 4 بعدی دیراک ارتباط داد. علت اصلی این که نمی توان بین این دو ارتباط برقرار کرد اثر جفت شدگی اسپین مدار است پس ما تدابیری را اتخاذ می کنیم و تحت تبدیلات (ks) نشان می دهیم که اتم هیدروژن ارتباط منطقی با نوسانگر هارمونیک 4 بعدی دارد . در بررسی مسئله از شرایط خاصی که در آن در هامیلتونی مسئله پتانسیل اسکالر و برداری با شدت مساوی (svpem) و اینکه تقارن اسپینی مسئله برقرار است استفاده کردیم