هدستروم و هاستون ایدآل اول قوی و دامنه ی شبه ارزیابی را نخستین بار در سال 1978 تعریف کردند. به دنبال آن اندرسون، دابز و بداوی به مطالعه ی بیشتر این حلقه ها پرداختند و در سال 1997 ایدآل اول قوی را برای حلقه های جابجایی و یکدار تعمیم دادند و حلقه ی شبه ارزیابی را تعریف کردند. سپس در سال 2007، بداوی با معرفی ایدآل های اول شبه قوی، تعمیمی دیگر از دامنه های شبه ارزیابی را تحت عنوان دامنه های شبه تقریبا ارزیابی ارائه و مورد بررسی قرار داد. در این رساله مفهوم ایدآل اول شبه قوی برای حلقه های جابجایی و یکدار تعمیم داده شده است و یک حلقه ی جابجایی و یکدار را حلقه ی شبه تقریبا ارزیابی نامیده ایم اگر هر ایدآل ماکسیمال آن یک ایدآل اول شبه قوی باشد. به علاوه، ویژگی های ایدآل اول شبه قوی و حلقه ی شبه تقریبا ارزیابی مورد بررسی قرار گرفته است. همچنین اندرسون و ظفرا... در سال 1991 دامنه های تقریبا ارزیابی را معرفی کردند. در این رساله، حلقه های تقریبا ارزیابی که تعمیمی از مفهوم دامنه ی تقریبا ارزیابی است نیز معرفی شده است و رابطه ی این حلقه ها با حلقه های شبه تقریبا ارزیابی مورد بررسی قرار گرفته است. به علاوه، مفهوم ایدآل اول قوی و حلقه ی شبه ارزیابی تحت عنوان زیرمدول اول قوی و مدول شبه ارزیابی به رسته ی مدول ها گسترش داده شده است و ویژگی های این نوع مدول ها، مدول شبه ارزیابی نوتری و مدول شبه ارزیابی بدون تاب مطالعه شده است.