در این پایان نامه ابتدا یک gcd - دامنه را تعریف می کنیم. gcd - دامنه ، دامنه صحیحی است که هر دو عضو ناصفر آن بزرگترین مقسوم علیه مشترک داشته باشند. در یک gcd - دامنه اشتراک هر دو ایده آل اصلی یک ایده آل اصلی است. سپس agcd - دامنه ها (تقریبا gcd - دامنه ها) را تعریف می کنیم. agcd - دامنه ، دامنه صحیحی است که برای هر دو عضو ناصفر آن مانند b وa عدد طبیعی n موجود باشد به طوری که اشتراک دو ایده آل a^nr و b^nr یک ایده آل اصلی است. در ادامه به معرفی عناصر v - متباین می پردازیم. دو عنصر ناصفر a وb از دامنه صحیح r را v - متباین می نامیم هرگاه اشتراک دو ایده آل ar و br مساوی ایده آل abr شود و در این صورت می نویسیم a,b)_v=1) . با استفاده از این تعریف، بلوک های اول را در یک دامنه صحیح r معرفی می کنیم و خواص آن ها را بررسی می کنیم. در ادامه با استفاده از بلوک های اول، aufd ها (تقریبا ufd ها) را تعریف می کنیم. دامنه صحیح r را یک aufd می نامیم، هرگاه برای هر عنصر ناصفر غیر یکال x متعلق به r ، عدد طبیعی n موجود باشد به طوری که x^n قابل نمایش به صورت حاصلضربی از تعداد متناهی بلوک های اول دو بدو v- متباین باشد. بعد از معرفی aufd ها نشان می دهیم که هر aufd یک agcd – دامنه است. در ادامه به معرفی t - ایده آل ها می پردازیم و خواص آنها را مورد بررسی قرار می دهیم و نشان می دهیم در یک aufd هر t - ایده ال اول مشمول در یک t - ایده آل ماکسیمال یکتاست و هر عنصر ناصفر غیر یکال از r تنها به تعداد متناهی t - ایده آل ماکسیمال از r قرار دارد. سپس نشان خواهیم داد اگر r یک agcd - دامنه باشد آنگاه r یک aufd است اگر و تنها اگر در شرط های زیر صدق کند: الف)هر عنصر ناصفر غیر یکال از r تنها متعلق به تعداد متناهی t - ایده آل ماکسیمال باشد. ب) اگر دو t- ایده آل ماکسیمال p_2,p_1 شامل یک ایده آل ناصفر مشترک باشند آنگاه p2=p1 . سپس به بررسی خواص agcd - دامنه ها می پردازیم و نشان می دهیم اگر r یک agcd - دامنه باشد، بستار صحیح آن نیز یک agcd - دامنه است. بعد از آن یک حلقه ارزیابی را تعریف کرده و با استفاده از آن دامنه پروفر v - ضربی (pvmd) را تعریف می کنیم. دامنه صحیح r را یک دامنه پروفر v - ضربی (pvmd) می نامیم هرگاه به ازای هر t - ایده آل اول p از r_p، r حلقه ارزیابی باشد. پس از تعریف، نشان می دهیم هر pvmd صحیحا بسته است. در ادامه نشان می دهیم اگر r یک agcd - دامنه باشد آنگاه r صحیحا بسته است اگر و تنها اگر r یک pvmd باشد. بعد از آن در یک قضیه پنج شرط معادل برای آنکه agcd - دامنه r صحیحا بسته باشد بدست می آوریم. سپس یک دامنه تقریبا بزو ( ab - دامنه) را تعریف می کنیم. دامنه صحیح r را یک دامنه تقریبا بزو ( ab - دامنه) می نامیم هرگاه برای هر دو عنصر ناصفر a وb متعلق به r عدد طبیعی (n = n(a , b موجود باشد به طوری که ایده آل ( a^n, b^n ) اصلی است. بعد از تعریف یک دامنه تقریبا بزو (ab -دامنه) نشان خواهیم داد که agcd - دامنه r ، یک ab -دامنه نیم موضعی است اگر و تنها اگر r شامل هیچ دنباله نامتناهی از عناصر غیر یکال دو بدو v - متباین نیست. در پایان agcd-دامنه های از t-مشخصه متناهی را مورد بررسی قرار می دهیم.