در دو دهه گذشته روش های تحلیلی برای حل معادلات تابعی در احاطه شیوه های هوموتوپی بوده است. روش های بر اساس هوموتوپی که عموما روش آنالیز هوموتوپی (ham) الیانو 1992 و روش بریشندگی هوموتوپی (hpm) {خی 1999} هستند، کارایی شان را با حل دسته های وسیعی از معادلات تابعی به اثبات رسانده اند. معادلات دیفرانسیل جزئی معمولی، معادلات دیفرانسیل کسری، معادلات انتگرال و انتگرال- دیفرانسیل معادلاتی هستند که روش های هوموتوپی با موفقیت روی آن ها اعمال شده اند. بعلاوه ham برای حل دسته ای از معادلات دیفرانسیل استفاده شده است که هیچ روش تحلیلی و یا عددی قادر به حل آن ها نبوده است. این موارد پتانسیل روش های هوموتوپی را نشان می دهد. ما در این رساله ابتدا قواعدی را برای اعمال روش بریشندگی هوموتوپی بر روی معادلات دیفرانسیل و دستگاه معادلات دیفرانسیل ارائه می دهیم. در این راستا سعی کرده ایم شیوه کلاسیک در نحوه تقسیم شرایط مرزی اولیه را در این روش تغییر دهیم. بعلاوه نشان می دهیم که کارهاَی انجام شده بر روی همگرایی روش بریشندگی هوموتوپی دارای برخی اشکال ریاضی است. همچنین با یک مثال نشان می دهیم که هرگاه سری بدست آمده با روش hpm و ham همگرا باشد، لزوماً به جواب اصلی معادله همگرانیسنت و در پایان همگرایی این روش در برخی حالت های خاص معادلات اثبات می شود. رده بندی موضوعی 2010: 34b05, 34k06, 34k10, 34k28, 39b72