گراف مقسوم علیه صفر حلقه ی r که با t(r نمایش داده می شود، گرافی است با مجموعه رئوس که دو رأس a و b در ان مجاورند اگر ab=0. در این پایان نامه، ابتدا با بررسی مسطح بودن یا نبودن گراف مقسوم علیه صفر حلقه ها تعویض پذیر و یک دار، تمام حلقه هایی که برای آن ها t(r مسطح است،؛ مشخص خواهد شد. سپس گرافی را معرفی خواهیم کرد که معتقدیم بهتر گراف مقسوم علیه صفر، خواص حلقه را تعیین می کند. در این گراف که آْن گراف ایده آل پوچ کن حلقه ی r می نامیم و با ag(r نمایش می دهیم، رئوس گراف، ایده آل های غیر صفر جلقه ی r هستند که دارای پوچ ساز غیر صفر باشند. دو رأس i و j در ag(r متصل اند هر گاه (0)= ij مطالعه ی خواص این گراف و نتایج جالبی که به دست آمده است. صحت این ادعارا ثابت خواهد کرد.