در سال¬های اخیر تحقیقات متعددی بر روش¬های عددی جهت حل معادلات دیفرانسیل انجام شده است. یکی از قوی¬ترین و پر کاربردترین روش¬های عددی روش المان محدود می¬باشد. این روش در تحلیل مسائلی با مرزهای پیچیده یا متحرک و یا مسائلی که در زمان دچار تغییر در هندسه حوزه می¬شوند مانند مسائلی همچون رشد ترک و تغییر شکل¬های بزرگ نیازمند فرآیند مداوم شبکه¬بندی مسئله می¬باشد. به دلیل چنین محدودیت¬هایی توجه بسیاری از پژوهشگران به روش¬های بدون شبکه معطوف گردید. برای حل مسائل دارای ترک به کارگرفته در این رساله، از روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته استفاده شده است. روش حداقل مربعات گسسته، یک روش بدون شبکه واقعی می¬باشد که مبتنی بر تکنیک حداقل مربعات می¬باشد. از مزایای این روش عدم نیاز به انتگرال¬گیری، تقارن ماتریس ضرایب و سادگی به کارگیری آن می¬باشد. در این روش گسسته¬سازی حوزه¬ی مسئله توسط یک¬سری نقاط گرهی صورت می¬گیرد. این روش مبتنی بر به حداقل رساندن تابع مجموع مربعات باقیمانده¬ی معادلات دیفرانسیل حاکم بر حوزه dls مسئله و مرزها می¬باشد. روش¬های بدون شبکه به دلیل استفاده از توابع شکل با درجه پیوستگی بالا، در مواجهه با مرزهای غیر محدب و ناپیوستگی¬ها نیاز به تمهیداتی در تولید تابع شکل دارند. در این پژوهش، از روش فرانمایی برای ایجاد توابع شکل پیوسته در اطراف نوک ترک استفاده شده است. در روش فرانمایی، سطح یا خط ناپیوستگی به وسیله¬ی تابعی با درجه¬های مختلف شفافیت نسبت به نوک ناپیوستگی تعریف می¬شود. در این صورت نوک ناپیوستگی کاملا شفاف در نظر گرفته می¬شود و با دور شدن از نوک ترک از میزان شفافیت کاسته می¬شود.. در نهایت کارایی و دقت بالای روش حداقل مربعات گسسته با حل مسائل استاندارد و مقایسه نتایج حاصل از حل عددی با نتایج تحلیلی و نتایج روش اجزائ محدود نشان داده می¬شود.