در این پایان نامه رویکردی کاملاً ابتکاری و متفاوت از کاربرد حسابان کسری برای اولین بار مورد بررسی قرار گرفته است. مبحث حسابان کسری که تعمیمی از حساب دیفرانسیل و انتگرال مرتبه صحیح می باشد. در ابتدا توسط فیزیکدانان و سپس از سوی مهندسین مورد استفاده قرار گرفت. به علت پیچیدگی های این بحث، تا کنون در کاربردهای علمی کمتر مورد استفاده قرار گرفته، اما به تدریج و با پدیدار شدن پتانسیل های فراوان این بحث در حل بهتر مسائل مهندسی مورد توجه روز افزون قرار گرفته است. از کاربردهای مهم آن بررسی دسته ای از سیستم های دینامیکی مکانیکی که حسابان عادی در تعریف و پدیدار سازی آثار آن پاسخ های مکفی و متقاعد کننده در اختیار قرار نداده اند. بسیاری از پدیده های فیزیکی که بامدل های ریاضی معادلات دیفرانسیل مرتبه صحیح بررسی شده اند را می توان مورد تجدید نظر قرارداد، از جمله بررسی ترک هاو آثار متعاقب آن بر خصوصیات دینامیکی سازه ها و اعضای سازه ای. در بررسی آسیب ها مشاهده شده که تأثیر ترک بر روی میرایی و فرکانس به مراتب شاخص است؛ لذا به زعم نگارنده تحلیل اثر ترک با محوریت میرایی به همراه فرکانس می تواند نتایج بهتری ارائه دهد. در این پایان نامه روشی جدید با ورود حسابان کسری در اعمال اثر ترک در معادلات ارتعاش عضوهای ترک دار و آسیب دیده ارائه شده است. برای ارتعاشات محوری و ارتعاشات جانبی میله ها و تیرهای ترک دار معادلات حاکم به صورتی ابتکاری گسترش یافته اند. پس از وارد آوردن اثرات ترک و منظور کردن آن بر روی معادلات مرتبه کسری، به ارائه روش های حل پرداخته و پاسخ ها صحت سنجی می شوند